次の等式を満たす関数 f(z) を求めよ. また, 定数 α bの値も求めよ.
f(t)dt = 4.2-6c
["* e² f(x - t) dt = sin
sin a
(1)
2r-1
a
(3) f(z) +
(1) 両辺に
..
(2) f (x - t
積分方程式② (変数型)
2
a +1 を代入すると 04 (a+1)-6.a+1
2
2
a²-a-2=0 より
a=-1,2
(x-t)f(t)dt = (x +1)e-² +6
両辺をxで微分すると 2f (2x-1)=8z-6
12x-1
2
よって f (2x-1)=4x-3
+1 とするとf(x)=2x-1
数ⅡIと同様に, 積分区間に変数 æ を含む場合, 両辺をxで微分する.
ところが､ 一般に両辺の微分は同値な変形ではない.
y=2x+1,y=2x+2 がいずれもy' =2となるように, 微分すると定数項の情報がなくなる.
これを積分してもg=
= f2ds=2c+C となり、 微分前の形に完全に復元することはできない。
初期条件 (x,y) = (01) などがあってはじめて, y=2x+1のように復元できる.
つまり, あらかじめ元の式が成立するような条件を1つ求めておく必要があるわけである.
結局, 定積分が0になるような値を両辺のæに代入することになる. 2x-1=a→r=
a+1
2
-2x-1
de ft 1 (1) dt = der
|ƒ(1) dt = +
[F(0)]***
[F⑥]
dr
最後, 2x - 1 をェに変える.2x-1=t とするとx=t+より
4{F(2x-1)-F(a)} = f(2x-1)(2x-1)'
*+1とすればよい。
