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練習 次の関数は,x=0において連続であるか,微分可能であるかを調べよ。
②60
(1) f(x)=|x|sinx
(1) limf(x)=limxsinx = 0,
x1+0
x+0
limf(x)=lim(-xsinx) = 0
x-0
ゆえに
x-0
x→0
0
(x=0)
[類 島根大 ]
(2) f(x)={
x
(x+0)
1+2
x(x≧() のとき)
←|x|=
xx0 のとき)
limf(x)=0
3
また
f(0)=0
よって
limf(x)=f(0)
練
x→0
したがって,f(x)はx=0で連続である。
また lim
f(0+h)-f(0)
lim
hsinh–0
検討 微分可能 ⇒
ん→+0
h
ん→+0
lim
0-14
f(0+h)-f(0)
h
=lim
h→-0
-hsinh–0
h
ん→+0とん → - 0 のときの極限値が一致し, f'(0) = 0 と
なるから,f(x)はx=0で微分可能である。
連続であるから,まず
x=0で微分可能である
ことを調べ,その結果を
利用して, 「x=0で連続
である」と答える解答で
もよい。
mil
=
lim sinh=0
ん→+0
lim(−sinh)=0
h➡-0
(2)
- =t とおくと
x
lim2=lim2=8,
x+0
0017
lim2=lim2=0
x-0
8117
2)+(5
x
=0,
limf(x) = lim
よって
x+0
ゆえに
また
28300
x+01+2x
limf(x)=lim
x-0
limf(x)=0
x→0
f(0)=0
x
-=0
x-01+2x
2
(S)-
limf(x)=f(0)
よって
x→0
したがって, f(x) はx=0で連続である。
次に, h≠0のとき
f(0+h)-f(0) 1
h
=
•
=
h
h 1+2 1+2
lim
ん→+0
h
lim
h--0
=
=lim
h
f(0+h)-f(0)
f(0+h)-f(0)
h++01+2h
1
h→01+2
ん→+0 とん→0 のときの極限値が異なるから,f'(0) は
1
= lim
=0
1
(
mil
=1
存在しない。
SLS
すなわち, f(x) はx=0で微分可能ではない。
++(a+1)
←底2>1である。
←
8
-の形。
0
←
1+0
←ん→+0のとき
sa
1
→8
h
よって2→∞
また, h0 のとき
1
81∞
h
よって
