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重要 例題
71 定義域によって式が異なる関数
関数f(x) (0≦x≦4) を右のように定義すると
き、次の関数のグラフをかけ。
2x
(0≦x<2)
(1) y=f(x)
f(x)=
(2) y=f(f(x))
8-2x (2≦x≦4)
針
123
定義域によって式が変わる関数では,変わる境目のx,yの値に着目。
(2)f(f(x)) f(x)のxf(x) を代入した式で,
f(x)<2のとき
2f(x),
f(x)のとき 8-2f(x)
(1)のグラフにおいて,f(x)<2となるxの範囲と, 2≦f(x)≦4となるxの範囲
を見極めて場合分けをする。
(1)グラフは図のようになる(x) <2)
3章
8 関数とグラフ
0≦x<1のとき f(f(x))=2f(x)=2・2x=4x
解答
(2) f(f(x))=f(x)
(0≤f(x)<2)
8-2f(x) (2≤f(x)≤4)
よって, (1) のグラフから
1≦x<2のとき
f(f(x)) =8-2f(x)=8-2.2x
=8-4x
(p+d
2≦x≦3のとき
f(f(x))=8-2f(x)=8-2(8-2x)
=4x-8
3<x≦4のとき
上に任意の
とり=16-4x
f(f(x))=2f(x)=2(8-2x)
よって,グラフは図 (2) のようになる。
(1)
YA
4
2
(2)
4
変域ごとにグラフをかく。
(1) のグラフから,f(x)
の変域は
0≦x<1のとき
0≤f(x)<2
1≦x≦3のとき
2≤f(x)≤4
3<x≦4のとき
0≤f(x)<2
また, 1≦x≦3のとき,
曲の式は
1≦x<2なら
f(x)=2x
2≦x≦3なら
---------
f(x)=8-2x
のように2を境にして
式が異なるため, (2) は左
の解答のような合計4通
りの場合分けが必要に
なってくる。
T
1
T
I
1
0 1 2 3 4 x
0 1 2 3 4
x
(2)のグラフは、式の意味を考える方法でかくこともできる。
[1]f(x) が2未満なら2倍する。
[2]f(x)が2以上4以下なら, 8から2倍を引く。
[右の図で、黒の太線・細線部分が y=f(x), 赤の実線部分が
y=f(f(x)) のグラフである。] なお, f(f(x)) f(x) f(x) の
合成関数といい, (ff) (x) と書く (詳しくは数学Ⅲで学ぶ)。
YA
8から2倍を
引く
47
2
0
4
x
2倍する
