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解答
重要 例題
6 n桁の数の決定と二項定理
(1) 次の数の下位5桁を求めよ。
(ア) 101100
22900で割ったときの余りを求めよ。
(イ) 99100
[類 お茶の水大 ]
基本1
指針
(1) これらをまともに計算することは手計算ではほとんど不可能であり,また, それ
を要求されてもいない。 そこで、 次のように 二項定理を利用すると,必要とされ
る下位5桁を求めることができる。
これを二項定理により展開し、各項に含ま
(2)
(ア) 101100= (1+100)'= (1+102) 100
れる 10" (n は自然数) に着目して, 下位5桁に関係のある範囲を調べる。
(イ) 992=(-1+100)'= (-1+102) 100 として, (1) と同様に考える。
(割られる数) = (割る数)×(商)+(余り) であるから, 29900で割ったと
きの商をM, 余りをとすると, 等式 29900M+r (Mは整数 0≦x<900) が成
り立つ。 291 (30-1)であるから,二項定理を利用して, (30-1) を900M+r
の形に変形すればよい。
(1) (7) 101100=(1+100) 100=(1+102) 100
=1+100C×102+100C2×10+10°×N
=1+10000+ 495×105 + 10° × N
(Nは自然
この計算結果の下位5桁は,第3項,第4項を除いて
も変わらない。
<展開式の第4項以下を
とめて表した。
10"×N (N, nは自然
5)の項は下位5桁
計算では影響がない。
よって, 下位5桁は
10001
(イ) 99100(-1+100)=(-1+102) 100
=1-100C1×102+100C2×10' + 10°×M
=1-10000+ 49500000 + 10°×M
=49490001+10°×M (Mは自然数)
この計算結果の下位5桁は,第2項を除いても変わら
展開式の第4項以下
とめた。 なお, 99100
100 桁を超える非常
きい自然数である。
ない。
よって, 下位5桁は
90001
(2) 2951(30-1)51
900=302
=3051-51C1×3050+ 51C49×302+ 51C50×30-1
=302(3019-51C1×3048+・・・・
(-1)'は
-51C49) +51×30-1
が奇数のとき
=900(301-51C1×3048+-51C49) +1529
=900(301-51C1×3048 +
ここで,304-51C1×3048+-51C49+1 は整数である
から 2951 を900で割った余りは 629 である。
rが偶数のとき
-51C49+1) +629
1529=900+629
| 練習 (1) 101'5 の百万の位の数は
である。
62211400で割ったときの余りを求めよ。
[類
