（2）はx^2で割るのはダメですか？

はない 基本 例題 38 関数の極限 (2)x→∞その 次の極限を求めよ。 Op.69 基本事項> (1) lim(x-3x2+5) X18 2-x (3) lim 811X 3+3-x x+3x (2) lim 00000 75 x--x-2 (4) lim (loga (9x²+4)-logs(x+2)} 関数の極限 30 (1) y=x-3 x-2 1 CHART & SOLUTION jp.69 基本事項 11. 21 基本13 16 35 2 関数の極限(x→±∞) 極限が求められる形に変形 (1),(4)∞-∞,(2),(3)の不定形であるから, 極限が求められる形に変形。 (1) 最高次の項xをくくり出す。 (2)分母の最高次の項xで分母・分子を割る。 (3)x→∞は,x = -t とおいて,t→∞の極限におき換えると考えやすい。 M (4)10gaM-logaN=10ga を利用して, 10g3f(x) の形にまとめてから、f(x)の極限を N 考える。 mix-2 ・+1 解答には書けないが 解答 -3 は、x2+0 のとき (1) lim(x-3x²+5)=limx1 x 5 1-3+1)=00 =8 x→∞ +00001 2-0 のとき (2) lim x-xx-2 x2+3x x+3 lim =18 811X 2 x と考えることもできる。 (3) x=-t とおくと,x→∞のときであるから 23 ( 2-% 2t 0 -=lim =lim 3-t+3t /1 =0 21 0+1 分母分子を分母の最高 次の項xで割る。 ◆分母分子を3で割る。 x→∞のとき a1 ならば →∞ ならば

2枚目の回答はおかしいですか、？

基本 例題 35 直線のベクトル方程式 00000 △OAB において,辺OA を 2:1 に内分する点を C, 辺OB を 2 1 に外分 する点をDとする。 OA=d, OB = とするとき,次の直線のベクトル方程 式を求めよ。 (1) 直線 CD CHART & SOLUTION 直線のベクトル方程式 1点A(α)を通り、dに平行 (2)Aを通り,CD に平行な直線 →b=a+td p.547 基本事項 1 2 異なる2点A(a),B() を通る→b=(1-t)a+t6 前ページの基本例題 34 と異なり、この問題ではベクトルの成分が与えられていない。その ため、この問題では=.. の形で答えることに注意する。 (1) 2点C, D を通る直線と考え, 2 を用いる。 (2) CDを方向ベクトルと考え、①を用いる。 解答 直線上の任意の点をP(p), tを媒介変数とする。 (1) OC=OA= d OD=2OB=26 よって、 求める直線のベクトル方程 b=(1-1)OC+tOD B P +b=toC+(1-1)OD としてもよい。 式は = (1-t)a+2tb (2) CD-OD-OC-26- 2 → 0 よって, 求める直線のベクトル方程 C 式は A B b=OA+ICD=a+tl t(26 - 2 - a) P CD P =(1-3)+26 D ◆まず,方向ベクトルを求 める。 int t=3s として、 p = (1-2s) a+6sh と表し てもよい。

なぜ（２）に点Pが出てきたのですか？

142 本 8日 対の点、 +2y3Dをとする。 次のものを求めよ。 にして、点P(0, 2)と対称な点Qの座標 して直m:3x-y-2=0 と対称な直線 P.141) PQLO n の方程式 基本事項■ 重要 89 xy と 771 e 線分 PQ の中点が上にある e 指 2 に関して、点と点Qが対称⇔ に関して,直酸 m と直線nが対称 あるとき、次の2つの場合が考えられる。 3直線が平行 (milin)。 3mnが1点で交わる。 本の場合である。右の図のように、 の交点をRとし, Rと異なる 上の点Pの直線に関する対称点をQ とすると, 直線 QR が直線 (1)点Qの座標を(p.9)とする。 PQはに垂直であるから y Q(p,q) ① 2 9-2 0 3 は -2 P ゆえに 2p-g-20 線分 PQの中点 (12/2 直線上にあるから ++2-4-3-0 ゆえに p+2g-10=0 ①②を解いて p= /14 18 とな 直線lの方程式から 1 p.131 の検討の公式 利用すると,点を lに垂直な直線の方 は 2(x−0)—(y+2)=\ 点Qはこの直線上 2p-q-2=0 解答 ゆ 線 るから に ゆ とすることもできる。 YA m よって (1,1) ①よこよ よ R (2)4mの方程式を連立して解くと x=1, y=1 3 2 ゆえに 2直線4m の交点の座標は (1,1) 0 3 また、点Pの座標を直線 m の方程式に代入すると, 30-(-2)-2=0 となるから、点Pは直線上にある。 P-2 よって、直線は2点QRを通るから,その方程式は2点(x1,y) ( (1-1)(x-1)-(2-1)(x-1)=0 整理して 13x-9y-4=0 を通る直線の方程式 (y2-y₁)(x-x1) -(x2-x1)(y-1)= 88_(1) 直線に関して、点Pと対称な点Qの座標を求めよ。 点P(1,2)と、直線:3x+4y-15=0, m:x+2y-5=0がある。 (2)直線に関して 直線と対称な直線の方程式を求めよ。 P.147 EX 練習 ③ 89

(1)(イ)についてです。 写真のハイライトした部分がどうしてこうなるのか分からないので、教えて頂きたいです。 御回答よろしくお願い致します。

547 演習 例題130 合同式の利用 累乗の数の余り 合同式を利用して、 次のものを求めよ。 0000 (1) (ア) 13100 9で割った余り (2) 472011 の一の位の数 (イ) 20002000 を12で割った余り [(イ) 早稲田大] [(2) 類 自治医大] p.544 基本事項 3 4章 発展 合同式 指針 乗法に関する次の性質を利用する。 a=b (modm),c=d(modm) のとき 3 ac=bd (mod m) 4 自然数nに対しα=b (mod m) (1)累乗の数に関する余りの問題では、余りの周期性に着目することがポイントであ る。また, 合同式を利用して、 指数の底を小さくしてから, 周期性を調べると計算が らくになる。 注意 αのαを指数の底という。 特に, "≡1(mod m) となるnが見つかれば、問題の見通しがかなり良くなる。 (2)ある自然数 N の一の位の数は,Nを10で割ったときの余りに等しい。 したがっ て 10 を法とする剰余系を利用する。 CHART 累乗の数を割った余りの問題 余りの周期性に注目 (1) (ア) 134 (mod9) であり 解答 42=16=7 (mod 9). 43=64≡1(mod 9 ) ゆえに 4100=4•(43)33=4・133=4(mod9) よって 13100=4100≡4 (mod9) したがって 求める余りは 4 13-49 であるから, 13 と4は9を法として合同 であることに着目し、4" に関する余りを調べる。 132 13 を9で割った余 りを調べてもよいが, 般に 42 43の方がらく。 2000 の計算は面倒。 - 2000を12で割った余り は8であるから, 2000 と 8は12を法として合同。 したがって, 8" に関する 余りを調べる。 (イ) 2000=8 (mod12) であり 82=644 (mod 12), 8°=8・4=8 (mod12) 8'≡(82)2=42=4 (mod12) ゆえに, kを自然数とすると よって 82k=4 (mod12) 2000200082000=4(mod12) したがって, 求める余りは 4 (2)477 (mod 10) であり 72=499 (mod 10), <47=10・4+7 7°=9.7≡3(mod 10), 7=92=1 (mod 10 ) ゆえに よって 72011 (74) 502.78=1502.3=1・3=3(mod 10 ) 2011=4・502+3 472011=72011=3 (mod10) したがって, 472011 の一の位の数は 3 合同式を利用して 次のものを求めて

(1)🟩x＝の式がなぜそうなるのか分からないので教えてほしいです

180 基本 例題 104 放物線がx軸に接するための条件 00000 次の2次関数のグラフがx軸に接するように, 定数kの値を定めよ。また、その ときの接点の座標を求めよ。 (1) y=x2+2(2-k)x+k (2) y=kx2+3kx+3-k /p.177 基本事項 指針 2次方程式 ax2+bx+c=0 の判別式をDとするとき, 2次関数y=ax2+bx+cのグラフが D=0のとき x軸に接する⇔D=b-4ac=0 を利用。 b また,グラフがx軸に接するとき, 頂点で接するから,接点の 2a b x座標は,グラフの頂点のx座標 x=- である。 2a (2) 「2次関数」と問題文にあるから k=0 D 解答 と =(k-1)(k-4) (1)2次方程式 x+2(2-k)x+k=0の判別式をDとする1) 12/12=62-ac(6=27) 2=(2-k)2-1.k=k-5k+4 2) 接点のx座標は, y=0 とおいた2次方程式 ax2+bx+c=0 の重解で A (4, 01: ー グラフがx軸に接するための必要十分条件は ゆえに (k-1)(k-4)=0 D=0 ある。 よって k=1, 4 D=0のとき グラフの頂点のx座標は、x=- 2(2-k) 2) 2.1 =k-2であ るからk=1のとき x=-1, k=4のときx=2 k=1のとき (-1,0), したがって、接点の座標は k-2 X k=4 のとき (20) なお,k=1のときは y=x2+2x+1 (2) f(x)=kx2+3kx+3-kとする。 y=f(x) は2次関数であるから k=0 2次方程式 f(x) =0の判別式をDとすると D=(3k)2-4·k·(3-k)=13k-12k=k(13k-12 グラフがx軸に接するための必要十分条件は D=0 =(x+1)2 k=4のときは y=x2-4x+4 =(x-2)2

例えば㈠だったらABのx座標の変化量をみてDCのx座標を決めるというやり方ではだめですか？説明も含めて答える問題では対角線を使ったほうが良いのでしょうか。

基本 例 76 平行四辺形の頂点の座標 00000 3点A(1, 2), B5, 4), C(3, 6) を頂点とする平行四辺形の残りの頂点Dの座 標を求めよ。 p.119 基本事項 4 指針 平行四辺形の対角線は,互いに他を2等分するから、次の性質を利用して点Dの座標 を求める。 平行四辺形は2本の対角線の中点が一致する。 その際, 平行四辺形ABCD というように, 頂点の順序が示されていないから, 平行四 辺形ABCD, ABDC, ADBC の3つの場合を考える必要があることに注意。 頂点Dの座標を (x, y) とする。 [1] YA [1] ABCD 平行四辺形の頂点の順序は,次の3つの場合がある。 [2] ABDC [3] ADBC C(3,6) [1] の場合, 対角線は AC, BD であり, それぞれの中点 をM, N とすると M(1+3, 2+6), N(5+x, y) 2 2 M,Nの座標が一致するから 5+x 4 D B (5. A(1,2) 4+y O [2]y C(3,6) 8_4+y 2 2 2 2 これを解いて x=-1,y=4 [2] の場合, 対角線は AD, BC であり、 同様にして 1+x 8 2+y_10 2 2' 2 2 これを解いて x=7, y=8 [3] の場合, 対角線は AB, CD であり、 同様にして 6 3+x 6 == 2 2'2 6+y 2 これを解いて x=3, y=0 B( A(1,2) [3] y C(3, 以上から、点Dの座標は (-1, 4), (7, 8), (3, 0) D(-1, 4), D'(7, 8), D" (3, 0) として,図をかくと,右の ようになる。 A 右の図で,線分 AD', BD, CD” の交点は△DD'D” の重心 であり, △ABCの重心でもある。 D IA (1,2) 0 D A 0 D" 3点A(3,2), B(4, 1), C(1, 5) を頂点とする平行四辺形の残りの頂点 標を求めよ。

(2)でn≧2^m と勝手に決めていいいのですか？

重要 例題 45 無限級数Σ1/nが発散することの証明 0000 (1) すべての自然数nに対して, 2 1 k=1k 2 n M +1が成り立つことを証明せよ。 (2)無限級数1+ 1 1 + 2 1 ++ +...... 3 は発散することを証明せよ。 n 基本 34 重要 44 (1)数学的帰納法によって証明する。 (2) 数列{1} は0に収束するから、か.63 基本例題 34のように,p.61 基本事項図② を利用する方法は使えない。 そこで, (1) で示した不等式の利用を考える。 2"/1/11 ここで,n→∞となる。 1) 解答 2章 k=1 k 2 n +1 ① とする。 1/8=1+1/2=1/3+1 [1] n=1のとき k=1k よって, ① は成り立つ。 [2]=m(mは自然数)のとき,① が成り立つと仮定すると11+1 このとき 2m+1 2m 2m+1 1 +-+ = k=1k k=1 k 1 + k=2" +1 k (+1) +2 +1 +2 +2 2m+1 2m+2 2m k=1 k 2 4 ④無限級数 +......+ 2m+1 =1+1+ + 1 1 .+......+ 2m+1 2m+2 >m+1+gans2mm/+1+1 2m+2m 12m+1=2m2=2"+2m 1 2+2+2 (2) 1 2m+k よって, n=m+1のときにも①は成り立つ。(k=1,2, 2m-1) [1], [2] から, すべての自然数nについて①は成り立つ。 (2) S=1/2" とすると,(1)から 2m Snm 1 +1 k=1 k 2 ここで,m→∞のときn→∞ で lim m(2+1)=x -1=8 limSn=∞ →∞ n→∞ 00 したがっては発散する。 an≦bn liman=∞⇒limbn=∞ (p.343②) n=1 n 72100 1210 0=0nalexmil 無限級数1/nの収束・発散について 8 数列{a} が 0 に収束しなければ, 無限級数 2αは発散するが (p.61 基本事項 2②),こ n=1 =0であることから,このことが確認できる。 n 11は1のとき収束, p≦1のとき発散することが知られている。 検討 の逆は成立しない。 上の (2) において lim 00 練習 @ 45 上の例題の結果を用いて,無限級数方 は発散することを示せ。 p.81 EX 32

黄チャート基本例題63です この問題の右側の解説を見るとa/2と書いてあるんですけどそのa/2がどこから来たのか分かりません。 解説動画も見たんですけどわからなかったです こんな質問ですがわかる方教えてくれると嬉しいです🙇‍♀️

本例題 63 定義域の一端が動く場合の関数の最大・最小 XIXXX 0000 コは正の定数とする。 0≦x≦a における関数f(x)=x-4x+5について 大値を求め(2) 最小値を求めよ。 _1) 最大値を求めよ。 CHART & SOLUTION 定義域の一端が動く場合の2次関数の最大 最小 軸と定義域の位置関係で場合分け p.107 基本事項 2.基本 右端が 動く 定義域が 0≦x≦a であるか らαの値が増加すると定義 域の右端が動いて, 定義域が 広がっていく。 |軸 軸 区間の 右端が 動く 区間の したがって, αの値によって, 最大値と最小値をとるxの x=0x=a x = 0 x=a 値が変わるので場合分けが必要となる。 x=0 (1)y=f(x)のグラフは下に凸の放物線であるから, 軸からの距離が遠いほど」の値は大 (p.110 INFORMATION 参照)。 ほいっと 定義域≦xsaの両端から軸までの距離が等しくなる(軸が定義域の中央に 致する)ようなαの値が場合分けの境目となる。 [1] 軸が定義域の 中央より右 軸 [2] 軸が定義域の 中央に一致 1 軸 1 最大 最大 定義域 の中央 定義域の両 端から軸ま での距離が 等しいとき 最大 ・定義域 中央 [3] 軸が定義域の 中央より左 軸 最大 定義域 の中央 (2)y=f(x) のグラフは下に凸の放物線であるから,軸が定義域に含まれてい れば頂点で最小となる。 よって, 軸が定義域 0≦x≦a に含まれるか含まれないかで場 分けをする。 [4] 軸 [5] 軸が定義域 の外 軸が定義域 軸 の内 C [4] C

(2)の問題は、一つ一つ暗記をしなければいけないのですか？それとも見分ける方法があるのですか？

発展例題14 二酸化炭素の状態図 図は,二酸化炭素の状態図を模式的に示したものであ る。 次の各問いに答えよ。 問題21 00837 〔×105Pa〕 (1) 領域 I, II, IIIでは, 二酸化炭素はそれぞれどの ような状態にあるか。 圧力 08.10.15 I II (2) 1.013×105 Pa を表す線は,図中の (ア)~ (ウ) の どれに相当するか。 (ア) (イ) A (ウ) (3)状態図から,一定温度で液体に圧力を加えると, 状態はどのように変化することがわかるか。 (4) 点A,Bの名称はそれぞれ何か。 また, 点Bより も温度・圧力の高い状態は何とよばれるか。 考え方 (1) 一定圧力で温度を高くすると, 固体 液体→気体と変化する。 温度[C]- 解答 (2) 二酸化炭素は, 1.013×10 Paでは昇華性を示し, 固体から直接 気体に変化する。 (1) Ⅰ 固体 Ⅱ 液体 III 気体 (2) (ウ) (3) 固体になる。 (3)Iの固体とⅡの液体の境界線が右上がりなので,一定温度で圧 力を高くしていくと, 液体は固体に変化する。 (4) Aでは,固体、液体、気体の3つの状態が共存し, これを三重 点という。点Bの温度と圧力を超えると, 液体と気体の密度が同じ になり、 液体と気体を区別できなくなる。 この点を臨界点といい、 これよりも温度と圧力が高い状態を超臨界状態という。 超臨界状態 の物質を超臨界流体といい, 物質を溶かし出す性質にすぐれる。 (4) A 三重点 B臨界点 超臨界状態

この問題の解き方が分かりません🙇‍♀️

基本 例題 52 2次関数の係数の符号とグラフ麺で 深める 2次関数 y=ax2+bx+c のグラフが右の図で与えら れているとき,次の値の符号を調べよ。 (1) a (2) b (4)62-4ac (5) a-b+c (3) c 00000 が p.91 基本事項 基本 51 97