Question

はれ

(1)(イ)についてです。

写真のハイライトした部分がどうしてこうなるのか分からないので、教えて頂きたいです。

御回答よろしくお願い致します。

547
演習 例題130 合同式の利用 累乗の数の余り
合同式を利用して、 次のものを求めよ。
0000
(1) (ア) 13100 9で割った余り
(2) 472011 の一の位の数
(イ) 20002000 を12で割った余り [(イ) 早稲田大]
[(2) 類 自治医大]
p.544 基本事項 3
4章
発展 合同式
指針 乗法に関する次の性質を利用する。
a=b (modm),c=d(modm) のとき
3 ac=bd (mod m) 4 自然数nに対しα=b (mod m)
(1)累乗の数に関する余りの問題では、余りの周期性に着目することがポイントであ
る。また, 合同式を利用して、 指数の底を小さくしてから, 周期性を調べると計算が
らくになる。
注意 αのαを指数の底という。
特に, "≡1(mod m) となるnが見つかれば、問題の見通しがかなり良くなる。
(2)ある自然数 N の一の位の数は,Nを10で割ったときの余りに等しい。 したがっ
て 10 を法とする剰余系を利用する。
CHART 累乗の数を割った余りの問題 余りの周期性に注目
(1) (ア) 134 (mod9) であり
解答
42=16=7 (mod 9). 43=64≡1(mod 9 )
ゆえに
4100=4•(43)33=4・133=4(mod9)
よって 13100=4100≡4 (mod9)
したがって 求める余りは 4
13-49 であるから, 13
と4は9を法として合同
であることに着目し、4"
に関する余りを調べる。
132 13 を9で割った余
りを調べてもよいが,
般に 42 43の方がらく。
2000 の計算は面倒。
-
2000を12で割った余り
は8であるから, 2000 と
8は12を法として合同。
したがって, 8" に関する
余りを調べる。
(イ) 2000=8 (mod12) であり
82=644 (mod 12),
8°=8・4=8 (mod12)
8'≡(82)2=42=4 (mod12)
ゆえに, kを自然数とすると
よって
82k=4 (mod12)
2000200082000=4(mod12)
したがって, 求める余りは 4
(2)477 (mod 10) であり
72=499 (mod 10),
<47=10・4+7
7°=9.7≡3(mod 10),
7=92=1 (mod 10 )
ゆえに
よって
72011 (74) 502.78=1502.3=1・3=3(mod 10 )
2011=4・502+3
472011=72011=3 (mod10)
したがって, 472011 の一の位の数は 3
合同式を利用して 次のものを求めて

合同式

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ととろ

4 ≡ 4 (mod12)
4²＝16≡ 4 (mod12)
4³≡4×4(mod12)≡4(mod12)
…
4^k ≡ 4×4^(k-1) ≡ … ≡4(mod12)

8^(2k) = (8²)^k ≡ (4)^k≡4(mod12)

ということでしょう

はれ

ありがとうございます。理解できました。

Answer 2

長飛丸とら

この解説は少し説明が足りないように思います。
ただ、解説の意味は
8^1の場合の余りは8
8^2の場合の余りは4
8^3の場合の余りは8
8^4の場合の余りは4

というふうに、余りが8,4,8,4と周期性があります
つまり、偶数上のときの余りは4ということで
8^2k≡4　としているだけです。

が、本当に周期性があるのかという部分に疑問が残る人もいると思います。

はれ

ありがとうございます。理解できました。