波線引いているところで、bnをなぜan－1とおくのかわかりません！もう少し詳しく教えてほしいです🙇🏻‍♀️

例題 297 漸化式 思考プロセス d1 = 5,/an+1 般項を求めよ。 例題 296 既知の問題に帰着 3a-2 例題296 で学習した, (ア) 等差型, (イ) 等比型, (ウ) 階差型 のいずれかに変形することを考える。 an+1=3an-2 = 3a - 2 an+1-α=3(an-α) a an-α = bn とおくと) \an+1-α=bn+1 解 漸化式 αn+1=34-2は, α = 3α-2 を満たす解 α = 1 a を用いて変形すると Anel-1304-3 ・・・) で定められた数列{an}の一 bn+1=36m (イ) の形 Action» 漸化式 ant) = p@a+αは、 特性方程式xp+g の解を利用せよ 12, = an+1=1=3(an-1) ここでbn=an-1 とおくと よって, 数列{bn} は初項b1=α1-1 = 4,公比3の等比数 1, 2 列であるから bn = 4.3"-1 an=bn+1=4・3"-1 +1 したがって 〔別解) ・② ... ant! bn+1=36 3au 3091 an+1=3an-2① において、辛出会 nをn+1に置き換えると an+2 3an+12 ①,②の辺々を引くと an+2an+1 = 3 (an+1-an) ... 3 数列{an}の階差数列を {bn} とすると,③ bn+1 = 3bn よって, 数列{}は初項8 の (ア) an+1=an+d (イ) an+1=ran (ウ) an+1=an+f(n) ^èmo. Ibn = An − 1 kh an = bn +1 8+n8=E (1-2) an a=3α-2 をもとの漸化 式の 特性方程式 とよぶ｡ p.523 Play Back 32 参照 特性方程式を用いて, 化式を変形したときは 展開してもとに戻ること を確認するとよい｡ S 3+1 = (8-AS) 階差数列を利用した {an}の階差数列{bmi すると bn=an+1 と間道 bn=an-an-1 ないように注意する。 13 £

分からないです。解説お願いします。

10 次の条件によって定められる数列{an), (62)の一般項を,それぞれ求めよ。 a₁=0, b₁=1, an+1=2a, +1, b₂+1=b₂+a, (n=1, 2, 3, ...). an+ 1 = 2an+ 1 € 12 aner + 1 = 2(ant!) Ch= antletick Cual² = 2Ch 1 つばしだから 7 [12

（2）の線部なんですが、なぜこうなるのですか

5 a1=1, an+1=20-3で定められる数列{an} について (1) an+1-α=2(an-α) の形を考えることで, an を求めよ｡ an+1-α=2(an-α) 式変形して an+1=2a-α 与えられた漸化式と比較しα=3 an+1-3=2(an-3) 数列{a„-3} は初項2,公比 2 の等比数列 よって -3=-2.2"-1 an ∴. an=-2"+3 余白や別紙に特性方程式 αを求めておき、 最初か an+1-3=2(a₂-3) l£

【漸化式】逆数をとって部分分数分解をしないで計算をしようとしたのですが、この方法が間違っている理由を教えてください。

例題 276 例題 290 潮 Xα=1,nan+1=(n+1)an+2 (n=1,2,3,・・・) で定められた数列( の一般項を求めよ。 思考プロセス bn ar 対応を考える 例 (n+1)an+1 対応 例題290 では 〓=〓 I nan+1 階差型 bn+1=bm+f(n) Action》 漸化式f(n)an+1=f(n+1)an+gは,両辺をf(n)f(n+1)で割れ an+1 n+1 an n - よって n≧2のとき bn=61+ (n+1)an+2 対応 = 20+2 の場合, nan = bn とおくと 対応 nan+1 = (n+1)an+2 の両辺を n(n+1) で割ると 2 n(n+1) 6n+1=6n+ とおくと an n bn+1-bn n-1 + 1 = 4 2 k=1k(k+1) 2 n(n+1) n(n+1) で割る 1 = 1 -2/+₁) 2 Te =1+2 n=1 を代入すると1となり = 1+ 2(1-1) = 3-2 n る 3 対応 n-1 An+1 n+1 k=1 k (8) 2 n(n+1) 1 = 1 + 2(( + + + + + + + + ~-~^² + 1 -² -1 ) 2 3 対応 an || bn+1 ← bn とおくと 1 /+//+//+// n-1 18 1 k+ 1/ bn+1=6n+2 2 n(n+1) 05. })} if(n)an+1=f(n+1)+1 の両辺をf(n)f(n+1) で割ると = an q + f(n) f(n)f(n+1) 階差数列を利用する。 an+1 f(n+1) 161 - an 1 = 1 Re Action 例題 276 「分数の数列の和は 分数分解せよ」 例題 29 1 a₁ = 2, 一般項を 思考プロセス 例題 29C 規則性 an+1 = Actic (別解 左 解n+ ar

赤線部分の4行がわかりません。 なぜ③の両辺をan+1で割った式をどう見れば、階差型になっているとわかるのですか？ また、Σの式を変形したところも(下から2行目、よって〜の部分)どこからこのように変形できるのかがわかりません。

Σ₁ (2n-2k+1) <=> 2 (2n-2k+₁) k = o k=0->1 k=1 ntl ntl htl <=> 2Σh - 2 Σk +Σl K=1 Kil Kil くくる h→nt! に書き換える。 = 2n(n+1)-2.(n+¹)(n+2)+1(n+1) C =(n+1) {2n - (n+2)+1} =(n+¹) (n-1)

赤線部分の4行がわかりません。 なぜ③の両辺をan+1で割った式をどう見れば、階差型になっているとわかるのですか？ また、Σの式を変形したところも(下から2行目、よって〜の部分)どこからこのように変形できるのかがわかりません。

精講 an+2=pan+1+gan の型の漸化式の解き方は 2次方程式 t2 = pt+α の解を α, β として,次の2つの場合があり ます。 (I) αキβ のとき an+2=(a+β)an+1 -αBan より an+2aan+1=B(an+1-αan) ① an+2-Ban+1=α (an+1- Ban) .... ② ①より,数列{an+1-aan} は,初項a2-αa,公比βの等比数列を表すので, an+1-aan = βn-1 (azaar) ...... ①’ 同様に,②より, an+1-Ban=αn-1 (a2-Bas) ......②' ①'−②'より, (B-α) an=β"-1 (azaa】)-α"-1 (a2-Bas) βn-1 (a2-aas)-α”-1 (az-Bas) (8)AST B-a 10 注 実際には α=1 (または β=1) の場合の出題が多く、その場合は階差数 列の性質を利用します. (本間がそうです) (II) α=β のとき anti=ran型 an= an+2-dan+1=α (an+1-αan) .. an+1-dan=an−1 (az-aas) ③ つまり、数列{an+1- Qan}は,初項 α2-αa,公比αの等比数列. ③ の両辺を αn+1 でわって, an+1 an a2-aa₁ 22.8 an+1 an a² n≧2のとき, An n-1 > k+1 k=1\ak- ak+1 ak k = n-1 - a2-aa1 a² k=1 よって, and=(n-1).《2-001 ‥. an=(n-1) α”-2a2- (n-2) α"-' ai n-1 AM) 135 ď²5 (85) (1)

一対一対応の数学の質問です！この漸化式ってこの方法を覚えて解くしかないのですか。

をq"+1 で割ると、奥型的な1。 (1 化式を解く (2) a=4, an+1=4an an+1= pan +S(n) (p (2 2項間漸化式の解き方 g(n)の係数を (3 数列になることを用いればよい。 an LBを定め an+1 A ればよい。また, an+1= pan+ Aq" の両辺を p"+1 で割って、 A/q か* ここで、 かか+1 とし an p b= p" A(n+1)になることは (1) an+1+ A (n+1)+B=2(an t An+B)を満たす A, Bを求める。 Cn+1=2a,+ An+B-Aと条件式を比べて,A=1, B-A=0 .. an+1+(n+1)+1=2(an+n+1)より, {an+n+1}は公比2の等比数列。 よって, antn+1=2"-1(aj+1+1)=3-2"-1 令左辺は ■解答 意。 B=1 . a,=3-2"ー1-n-1 【(2 )の別アプローチ) f(n)が Aq" の形の場合は、 12+1 an An+1 (2) ay+1=4a,-2"+1 を 4"+1 で割って, 47+1 4" 2 れ+1 1 となるので, n22のとき, とおくと,==1, bn+1=bn- 4 間瀬化式に帰着されることに 目、漸化式を2+1 で割って a1 an (2 b= 1)2-1 1- 2 an+1 1-1/1 +1 an =2- カ-1 27+1 1 1- 2 2* bn =6+(み)-)=1- =1-( an Cn= とおくと, 2" Cat=2arl これから解く。 =1-1- -+()(カ=1のときもこれでよい) 2 よって, a,=4"b,=4"{ :=2·4"-1+2* 【別解】(2) an+1+A·2"+1=4(an+A·2")を満たすAを求める。 Cy+1=4a,+4A·2"-A·2"+1=4az+A·2"+1 と条件式を比べて,A==-1. Gy+1-2"+1=4(an-2")より, {an-2*}は公比4の等比数列。 よって, an-2"=4カ-1(4-2')=2-4ガー1 . a,=2-4"-1+2" 09 演習題 (解答は p.75) 次の式で定められる数列の一般項 anを求めよ。 (1)a=2, an+1=3am+2n?-2n-1 (n21) (岐阜大) 2) a=1, an+1-2an=n-2"+1 (n之1) (日本獣医畜産大) =k(an+f(n))となる f(n)を探す。 (2)階差型に持ちE 1 3) a=1, an+1= n-1 (n21) 24t (岐阜大·教一後) ~ ン

漸化式に2nが入っているとどのように解けばいいか分からないので、解説お願いします🙇🏻‍♀️

An ひutl 35 次の漸化式で定められる数列{an} の一般項を求めよ。 (1) a=1, an+1=an+2 (n=1, 2, 3, ……) aiclt? 1 (2) a=3, an+1= ー今am (n=D1, 2, 3, ……) -3 く((3) a=1, an+1=an+2n-1 (n=1, 2,3, ……) (4) a=1, an+1=5an→1 (n=1, 2, 3, …)

階差数列の質問なのですが、☆のところって2nー1 ではないのですか？ 自分の中で、AーB＝nの式 だったら、階差数列の時、B＝a1＋、、 だと覚えていたのですが、(考え方をしっかりわかっていないからかも)わからないです。教えてください、！

-れとのより,a3=4·2+4·2=16 1 ,=-16+2°=8 a;=4-8+4·3=44 d4 4 (2) ②に①を代入すると a2n-1+n?)+4(n+1) 2n+1=4 = 2n-1+4(n?+n+1) よって, [階差型] 4n+1-41+(as-a)+…+(azn+1-42n-1) n =4+2(a2k+1 2k-1)=4+ E4(k2+k+1) k=1 k=1 1 1 =4+4(n+1)(2ヵ+1)+4(n+1)+4m 6 =4(ォ+1){か(2m+1)+ n 6 4 =(n+1)(n*+2n+3) 3 のより lon-4(カ+1)}=--(n+1) d2n 2n+1-(n+1) (カ+1)(n3+2m+3-3)=n(n+1)(n+2) 1 (n+1)(n?+2n+3-3)=

大学への数学の数列で、演習問題の⑶の後半が、回答を読んでもよく分からなかったので、解説していただきたいです、。解答と違う考え方でも全然大丈夫です。

013 演習題(解答は p.77) 次の漸化式によって定義される数列 {an} (n=1, 2, …) について, 次の問いに答えよ. a=4, azn=0 1 C2n-1+n*, azn+1=4a2n+4(n+1) 4 (1) 2, a3, a4, asを求めよ。 (2) a2n, azn+1 を nを用いて表せ。 CS.1- (2 に着 (3){an}の項で4の倍数でないものは, nの値が小さいものから4項並べると, ao, ら… aロ, ao, Qo である。 (類 松山大·薬) 68 こ3