面積を求める際のこのようなグラフは 極値やX軸との交点など求めてからグラフを書きますか？？

338 00000 基本 211 基本例題 215 3次関数のグラフと面積 関数 y=2p-s-2x+1のグラフとx軸で囲まれた部分の面積を求めよ。 CHART & SOLUTION 面積の計算 まずグラフをかく ① 積分区間の決定 3次関数のグラフと面積の問題でも、方針は2次関数の場合と変わらない。 3次関数のグラフとx軸の交点のx座標を求めて、 積分区間を決める。 →交点のx座標は 2.x-x-2x+1=0 の解。 inf面積を求めるために解答にグラフをかくときは, 曲線とx軸との上下関係と、交点の 座標がわかる程度でよいから、微分して増減を調べる必要はない。 よって ② 上下関係を調べる 曲線 y=2x^²-x^²-2x+1とx軸の交点のx座標は, 方程式 2x-x-2x+1=0 の解である。 f(x)=2x-x-2x+1 とすると f(1)=2-1-2+1=0 f(x)=(x-1)(2x2+x-1) =(x-1)(x+1)(2x-1) f(x) = 0 を解いて x=1, -1, -1/1 ゆえに, 曲線は右の図のようになるか ら 求める面積Sは s=S² (2x²− x² −2x + 1) dx +₁(−(2x²-x²–2x+1)} dx -1 - [£* - - * + x] - [ € - -ײ+x] x2- 3 y4 1 PRACTICE 215 8 次の曲線とx軸で囲まれた部分の面積を求めよ。 (1) y=x-5x2+6x 0 1 1 x 2 −²² (4- )*- } ( )*-( )*+¦ } -(² + 3-2)-(2-3) 71 48 因数定理 ◆組立除法により 2 -1 -2 ~x/d++) f(x)=x²(2x-1)-(2x-1) =(2x-1)(x-1) =(2x-1)(x+1)(x-1) 2 1-1 2 1 -1 0 あるいは 11 としてもよい。 ← 2つ目の定積分は,一を 外に出すと, 1つ目の定 積分と被積分関数が同 じ。 ← [F(x)] - [F(x)]* (2) y=2x3-5x2+x+? =F(c)-F(a){F(b)-F(c)} =2F(c)-F(a)-F(b) inf 定積分は分数計算など煩雑な計算が多い。 解答の(*)のようにF(x) に代入する値は まとめて,計算の工夫をする。 The The 7:16-07-2:12 に 1-12 051 曲線 y=-x+5x 上に点A(-1, -4) をとる。 日本 例題 216 曲線と接線で囲まれた部分の面積 el (1) 点Aにおける接線の方程式を求めよ。 (2) 曲線 y=-x°+5x と接線l で囲まれた部分の面積Sを求めよ。 CHART & SOLUTION (2) まず, 3次曲線と接線の共有点のx座標を求める。 f(x)-g(x)=a(x-a)(x-β)が成り立つ。 3次曲線 y=f(x)(x2の係数がα) と直線y=g(x)がx=αで接するとき, (ここで、Bはy=f(x) と y=g(x) の接点以外の共有点のx座標) (1) y'=-3x2+5 であるから, 接線l の方程式は y-(-4)={-3(-1)2+5}{x-(-1)} 11 すなわち y=2x-2 (②2) 曲線と接線lの共有点のx座標は、方程式 x+5x=2x-2 すなわち x-3x-2=0 の解である。 ゆえに (x+1)(x-2)=0 ゆえに,図から求める面積Sは よって x=-1,2 s=S_{(-x+5x)-(2x-2)}dx = f_(-x+3x+2)dx =-X+2x+2x27 3 4 y₁ el ORACTICE 216 曲線C:y=-x+4xとする。 部 x 基本 214215 INFORMATION 定積分の計算の工夫 s=f(x+3x+2)dxの計算はp.319 基本例題 203 と同様に,次のように計算す るとスムーズである。 s=S_(-x'+3x+2)dx=-(x+1)(x-2)dx (4) 339 曲線と接線ℓ は x = -1 で接する (重解をもつ) から, (x+1)^2を因数に もつ。 よって, x³-3x-2 =(x+1)^(x+α) とおけ,定数項を比較し てa=-2 =f(x+1)^{(x+1)-3}dx=-S°_^{(x+1)-3(x+1)}dx(x+1) の形をつくる --[(x + 1)²-(x + 1)² -- +27=4 = [(x+1)* 81 C上の点(13) における接線と曲線Cで囲まれ 7章 25 LEI 積

（ii）において全問で3次関数の接線L1を導出して、それとは別の等しい傾きの接線L2を考え、L1と囲まれた面積をS1、L2とはS2とするとS1＝S2となるのですが傾きが等しい接線だからでしょうか。 解答では傾きを平方完成してt＝1で対称であるためとされていますが解いていて思... 続きを読む

そして,l と傾きが等しい C”の接線が存在するのはX tキー+2 すなわち t≠1 のときである。 &」 と傾きが等しい ” の接線のうち, & でない方の接線をl2とし&と C” とで囲まれた図形の面積を S1,l2 と C" とで囲まれた図形の面積を S2 と すると,Sのグラフと l の傾きを表すグラフがともにt=1に関して対称 であることから, S1 = S2 であることがわかる。 となるので したがって, S1+S2 = 1 であるとき 3 S=S2=1/ 4 ゆえに 27(1-t)4 (1-t)4 = 16 4 1-t=± t= である。 81 2 5 2 3 3 S2 3 1 S1 iQ C" -l₁ -l₂ 8.0=0.1×8.0= -t + 2 -2t + 3 (8253272609 よって, l1 の傾きは 2 3 {(1) ² - 2.-3} = 3 - (-32) = 32 9 This HAR JO (100%* 2542120-3.0- = 88.0 × 8.0 = (2,02720)1-30=120-20 2806 S1のグラフ S₁ = l1 の傾きm を表すグラフ m=3t2-6t-9 27(1-t)4 4 =3(t-1)2-12 はどちらも t = 1 に関して 対称である。 8.0-Y 20.1 107.5875 AMAS 34 (7.02 YA ■3(t2-2t-3) にt=1/13 を 代入する。 3t2-2t-3) に t= = 1 を代入してもよい。

青チャの問題なのですが、曲線y=x³-5x²+2x+6のグラフが書き方が分からないです。 問題の解き方は分かるのですが、グラフが書けなくて問題が解けません。どなたかお願いします。

251 3次曲線と接線の間の面積 |曲線y=x²-5x2+2x+6 とその曲線上の点 (3, -6) における接線で囲まれた図| 形の面積Sを求めよ。 ・基本 248 250 重要 252 例題 基本 指針 面積を求める方針は ② 積分区間の決定 3③ ① グラフをかく 上下関係に注意 本問では,まず接線の方程式を求め, 3次曲線と接線の共有点のx座標を求める。 また,積分の計算においては,次のことを利用するとよい。 3次曲線 y=f(x)(x3の係数が α) と直線y=g(x) が x=αで接するとき, 等式 f(x)-g(x)=a(x-a)(x-B) が成り立つ。 14 DACIA edendeD 6 y=3x²-10x+2であるから,接線 の方程式は y-(-6)=(3・32-10-3+2)(x-3) すなわち y=-x-3 TO この接線と曲線の共有点のx座標 は,x-5x2+2x+6=-x-3の解 である。 これから x5x2+3x+9= 0 (*) ゆえに (x-3)^(x+1)=0 よって x=3, -1 したがって, 図から, 求める面積は S=S_{(x-5x2+2x+6)(x-3)}dx -1 13 ={x-3)"] +4[(x-3)" ] - 10 -64+ -3 -6 3 x 256_64 3 3 曲線 y=f(x) 上の点 (a, f(a)) における接線 の方程式は y-f(a)=f'(a)(x-α) 左辺が(x-3)² を因数に もつことに注意して因数 分解。 1 -5 3 93 3-6-9 1 =f'(x-3)(x+1)dx =f'(xー3)^{(x-3)+4)dx={(x-3)+4(xー3)^)dx(x-a)(x-3) -2 -3 3 3 0 1 1 03 =(x-a)^{(x-2)-(B-α)} ◄ S(x− a)"dx= (x−a)"+1 n+1 +C Aの形に因数 393 7 4面 # Cat

3枚目の解説の？の部分がなぜ割るのか教えてください

でめ (詳しくは p.388 参照) IZRA 関数 f(x)=x2+kx²+kx+1 の2つの極値の和が2となるときkの値および 200 2つの極値を求めよ. TER

微分の問題です！ 線が引いてある部分について、 「極値をもつ」→「a≠0」となるところがわかりません💦 教えてくださいお願いします🙇🏻‍♀️

* 20 月 方程式x-3ax2+4a=0が異なる3つの実数解をもつとき,定数aの値の範囲を求めよ。

質問です。 この問題で、ピンクの線のようになるのはなぜですか？ 正の数と正の数になることは無いんでしょうか、、！

例題 64 極値が存在するための条件 f(x)=x+3ax² - ax-1 が極値をもつとき,定数aの値の範囲を求めよ。 解説を見る の2次式f(x) の符号(正負) が変わればよいの 解 f'(x)=3x2+6ax-a の符号が変わればよい。 そのためには, y=f'(x)のグラフとx軸が異なる2点で交わればよい。 f'(x)=0 の判別式をDとすると, D>0 であればよいから D 2=(3a)²-3 · (−a)=9a²+3a=3a(3a+1) より, 3a(3a+1) > 0 よって, a</1/30 <a 考え方

(2)がわからなかったです。どうして2つの実数解が1とbになると分かるのでしょうか。教えて頂きたいです😭🙏🏻

a= である。 第2問 必答問題) O [1] a を実数とし, 関数f(x) の導関数f'(x) f'(x)=x(x-α)である。 (1) f(x) は が成り立つ。 ア 次の⑩~② 1次関数であり, f(x)がx=0 において極大値をとるため 必要十分条件は のうちから一つ選べ。 H (配点30) -1-√3 2 ⑩ f'(0)=0 が成り立つこと ① x=0 の前後でf(x) の符号が正から負に変化すること x=0 の前後でf'(x) の符号が負から正に変化すること a である。 以下においては, f(x)はx=0 で極大値をとるとする。このとき 0 ウ さらに,座標平面上の曲線 y=f'(x)とx軸で囲まれた部分の面積が4 であるとする。このとき, α= I である。 I に当てはまるものを, 次の⑩~④のうちから一つ選べ。 0 0 イ ① < に当てはまるものを, ウに当てはまるものを、次の⑩~②のうちから一つ選べ。 ① -2 4 _1+√3 2 ②2 のとき, f(x)の極大値が 1/3とする。 f(x)の極小値は オカ オーサ (数学II・数学B 第2問は次ページに続く。)

201.1 増減を調べよ、という問いはこのようにグラフで示すだけでは記述不足ですよね？？

基本例題 201/3次関数の増減,極値 次の関数の増減を調べよ。 また,極値を求めよ。 (1) y=x3+3x²9x 解答 (1) y′=3x²+6x-9 p.315 基本事項 ①.② 指針▷関数の増減・極値の問題ではy'の符号を調べる(増減表を作る)。 ①導関数yを求め, 方程式y'=0 の実数解を求める。 ・・・ Z 2② ① で求めたxの値の前後で,導関数y'の符号の変化を調べる。 と塩Bにおける」 CHART 増減極値y'の符号の変化を調べる 増減表の作成 SE GARO th =3(x2+2x-3) =3(x+3)(x-1) ① y=0 とすると x y +: 7 (2) y′=-x2+2x-1=-(x-1)2 y'=0とすると x=1 yの増減表は右のようになる。 よって、常に単調に減少する。 したがって,極値をもたない。 - 3 20 |極大| 27 (2)y=-1/23 x3+x2-x+2 x=-3, 1 yの増減表は右のようになる。 よって 区間 x≦-3, 1≦xで単調に増加, 区間 x y' DÉLY y - FRETCOV0000 |極小| -5 また, x=-3で極大値 27, x=1で極小値-5をとる。 注意 (*) 増加・減少のxの値の範囲を答えるときは,区 間に端点を含めて答えてよい。なぜなら,例えば,v=-3 のとき,u<vならばf(u) <f(v)の関係が成り立つからで ある。 1... 0 + 1053 y'の符号を調べるのに,次のよう雄 身 単なグラフをかくとよい。 (1) (1) y'=3(x+3)(x-1) HOW V -3 1 0 (*) (2) y'=-(x-1) 2 + X $221507 [参考] yのグラフは次のようになる。 YA 1(0)13 (2) 18 1

372(2)についてです。 a≠0なのはなぜですか？？

をもてばよい したがって、判別式をDとすると D =62-3a(a-1) > 0 4 -3a²+3a+36 > 0 a²-a-12<0 (a+3)(a −4) <0 -3<a<4 a0 であるから、求めるαの値の範囲は -3<a<0, 0<a<4 (2) y = 3ax² +12x+α-1≧0 がつねに成り立 てばよい。そのためには D a> 0 かつ が成り立てばよい。 D 0より 4 ≤0 62-3a(a-1)≦0 a²-a-12 ≥ 0 AOC (a+3)(a-4)≧0 a≦-3,4≦a a>0 より 求めるαの値の範囲は 4 ≤ a 372 (1) f'(x)=3{x2+4(1-a)x-16a} =3(x-4a)(x+4) より, f'(x)=0 となるxの値は x = 4a, 42 a=-1のとき, 極値はない。 αキ-1 のとき, f(x)はx=4α, -4 で極値 OTO をとる。 4a < 4 すなわちα < -1 のとき x=4α で極大値 f(4a) = 64a³+96(1-a)a² — 192a² = -32a²(a +3) x= -4 で極小値 f(-4) = -64+96(1-α ) + 192a = 96a +32 = 32(3a+1) をとる。 4a> 4 すなわちa> -1 のとき をとる。 x=4α で極小値 f(4a) = -32a²(a+3) x=4で極大値 f(-4) = 32(3a+1) 21841 以上をまとめると a=-1 のとき 極値はない。 a<-1 のとき 極大値 -32² (a+3) (x=4のとき) 極小値 32(3a+1) (x= -4 のとき) a> -1 のとき 極大値 32 (3a+1) (x=4のとき) 極小値-32² (a+3) (x=4a のとき) (2) 極値の積が負であればよいから 求める条件 は, f(4a)f(-4)<0である。 ここで f(4a) = -32a²(a+3) f(-4) = 32(3a+1) であるから -32a²(a+3) 32 (3a+1) < 0 (a+3) (3a+1) >0 これより a<-3 または1/13 < <a すなわち ただし、a≠ 0 であるから? a<-3 または 1/3 <a<0 373 (1) f(x)=x-x" +12 であるから f'(x) = 3x²-2x 接点のx座標をすると, しの方程式は y (t³-t²+12) = (3t² - 2t)(x-t) y = (3t2-2t)x-2t+f' + 12 すなわち これが原点を通ることから -2t3 + t2 +12 = 0 または 0<a 2t³-t²-12-0 すなわち この方程式の左辺は, (t-2)(22+3t + 6) = 0 と因数分解できる。 VESTE tは実数であるから t=2 したがって、直線の方程式は y = 8x (2) xx+12=8x よりーx² - 8x+12 = 0 直線y=8x が曲線 y=xx + 12 と x =2 で接することから (x-2)^(x+3)=0 PES したがって、接点以外の共有点のx座標は x=-3 よって、求める点の座標は (-3, -24) (3) (2)から,a 3,6=2である。 △PQR について, 辺 PQ の長さは一定であるか ら、△PQR の面積が最大となるのは, 点 R と直 [1

必要条件では重解を持つ時の場合も考えていたのに必要十分条件になったら外されるのは何故ですか？そもそも①なぜ重解でも極値を持つ可能性があるのか②必要十分条件を考えたら重解の場合が外された理由(反例)、この2点を理解出来ていないです。

例題 2.5 a を実数とする. f(x)=x+3ax²+(4a²-3a)xについて, (1) 関数f(x) が極値をもつようなαの値の範囲を求めよ. (2) 関数 f(x) が極値をもつようなαに対して, 関数f(x) は x = pで極大値, x = q で極小値をとるとする. このとき, f(p) + f (g) を α を用いて表し, その 最大値を求めよ. 【解答】 (1) さ f'(x)=3x²+6ax +4a²-3a. ん 関数 f(x) が極値をもつための必要条件は、 2次方程式f'(x)=0が実数解をもつことである. B a + : f'(x) f(x) 7 7 (重解αをもつとき) 0 + x a f(x) 極大 > 極小 / 異なる2つの実数解 α, β (a <B)をもつとき S 増減表より, f(x) が極値をもつための必要十分条件は、 2次方程式f'(x)=0が異なる2つの実 数解をもつことであり, 0-0 + (3a)²-3(4a²-3a) >0. a(a-3) <0. よって, f(x) が極値をもつようなαの値の範囲は, -) 0<a<3. = (p)\+(0)1 (答)