48 放物線 y=x2 と, 点 (1,2)を通る直線で囲まれた図形の面積Sを最
小にするような直線の方程式を求めよ。
| 直線の傾きをとして,面積をmの関数として表す。 面積の計算では
-Sex-a)(x-B)dx=21/2(B-α) を利用する。
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]x軸に垂直な直線は適さないから,点 (1,2)を通る直線の方程式を y=m(x-1)+2
とおく。
放物線とこの直線の交点のx座標は,方程式
x2=m(x-1)+2 すなわち
x2-mx+m-2=0
の実数解である。 方程式①の判別式をDとすると
D=(-m)2-4(m-2)=m²-4m+8=(m-2)^+4> 0
①
よって, ① は異なる2つの実数解をもつ。 それらをα, β (α <β) とすると
s=f(m(x-1)+2-x)dx=-f(x-a)(x-B)dx/12
また, β-α=-
m+√D m- -VD
=
=√D であるから
2
2
(B-α)
S=1/21(√(m-2)+4}3
よって, Sはm=2のとき最小となるから, 求める直線の方程式は
y=2(x-1)+2 すなわち y=2x答
