Question

波瑠

数2積分の問題です。青い波線より上の部分は解けたのですが、下の積分の式とそのあと微分するところからわからないので解説お願いします。3枚目の写真のように積分の式を考えました。

30<t<1 とする。 放物線 y=x2 と直線 l が点T (t, t2) で接している。この
とき, 放物線と直線l, x軸, 直線 x=1 で囲まれた2つの図形の面積の和を
Sとする。 Sの最小値を求めよ。

y'=2x であるから, 直線
l の方程式は
y-t2=2t(x-t)
すなわち
y=2tx-t2
P
①
① において y=0 とすると
t
x= 1/2
y
y=x2
x
x=1 とすると
よって S:
y=2t-12
S=Soxdx-12 (1-1/2)(21-12)
==
3┐1 1
+3
3
-
2
2t-2t2+
·t²-t+
3
2
1
ゆえに S'= =221+2t-1=/12 (312-8t+4)
=-11-231-2)
S'=0 とすると
12. 12/23
0<<1におけるSの増減表は,次のようにな
る。
t 0
***
S'
-
I
:
2-3 0
+
1
S
1
27
よって,Sはt= 1/2/3 で最小値をとる。

y=2t
l.
土
(x²-2x+)do
+Σl (2tx-x²-x²)da.
t
3
-
2.

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

積分は立式が違いますが、
方向性はそれでも問題ありません

ただ、模範解答が楽です
面積を楽に求めようとする、
このような工夫はよくあるので、
そのような観点があるとよいです

微分はふつうのやつです

波瑠

どこが間違ってるのかまでご指摘ありがとうございます。解説ありがとうございます。

波瑠

再度質問すみません。最後の微分は最小値を求めるためにやっているという解釈であっていますか？微分するところの手前まではできたのですが、なぜ微分するのかがいまいちわかっていなくて…

和

そうですね、最大最小を調べるには、
少なくともグラフが描ければ、
目で見て最大最小がわかりますね

グラフを描くには、3次、4次、…関数なら
微分して描けますね

2次関数でも微分してもいいですが、
普通は平方完成してすぐグラフを描きますね

今回はSは3次なので、
微分することになります

波瑠

理解できました。解説ありがとうございます。