n=k n=k+1を計算してその後どうすれば良いでしょうか

課題2 (1) 27 21+n+ n(n-1) を数学的帰納法で証明せよ. 2 (2) (1) を利用し, はさみうちの原理により n lim n→o 27 0 を証明せよ. I ※ (1) が解けなかった場合, (1)の結果だけ用いて(2)を解くのも可とします。

数学的帰納法がどういうものかはわかるのですが、n=kのときどう書いたらいいのか教えて下さい。

課題2 (1) 27 21+n+ n(n-1) を数学的帰納法で証明せよ. 2 (2) (1) を利用し, はさみうちの原理により n lim n→o 27 0 を証明せよ. I ※ (1) が解けなかった場合, (1)の結果だけ用いて(2)を解くのも可とします。

赤で囲った部分について質問です。 n≧2のときと書いていますが、なぜ式変形の途中でan−2,an−3,…を書いていいのでしょうか？ 例えば、それぞれnに2を代入したときに、a0，a−1，a−2，…となってしまうと思うのですが

192 重要 例跡113 新化式と極限 (5) 0 数列 (an)が0<a<3, ants=1+V1+an (n=D1, 2, 3, …)を満たすとき (2) 3-an+」< (3-an) を証明せよ。 事項 (1) 0<an<3を証明せよ。 物 p.174 基本事項 3, 基本 重要 ③ 数列 (an) の極限値を求めよ。 る場 指針> (1) すべての自然数nについての成立を示す→数学的帰納法 の利田 (2)(1)の結果,すなわち an>0, 3-an>0であることを利用。 とよ (3) 漸化式を変形して, 一般項 a, をnの式で表すのは難しい。そこで, (2) で示しか。 式を利用し,はさみうちの原理 を使って数列 (3-an}の極限を求める。 はさみうちの原理 すべてのnについて pSanいg,のとき lima,=α lim p=limg,=αならば →の なお,次ページの補足事項も参照。 はさみうち CHART 求めにくい極限 不等式利用で 解答 1 数学的帰納法による。 のとする。 [1] n=1のとき, 与えられた条件から①は成り立つ。 [2] n=kのとき, ①が成り立つと仮定すると 0<aぇ<3 n=k+1のときを考えると, 0<an<3であるから ah+1=1+/1+ae >2>0 ah+1=1+/1+a <1+V1+3%=3 (1) 0<anく3 … 40<a<3 40<ak から 1+a,>1 Ma<3から 「1+a<! したがって 0<ak+1<3 よって, n=k+1のときにも① は成り立つ。 [1], [2] から, すべての自然数 nについて① は成り立つ。 (2) 3-an+1=2-V1+an = 3-an く (3-an>0であり, a,>02 ら 2+1+a,>3 (3)(1), (2) から 0<3-a.s()(3-a) lim(3-a)-0であるから 「成立はれl 11-1 1カ-1 3 イn22のとき, (2) から 5はれに! (ワー8)->D-8 く0-) lim(3-an)=0 1→0 したがって liman=3 ワー8))> n→0 (ワー9).(). 練習 a=2, n>2のとき an=Van-1 - 113 (1) すべての自然数nに対して an>1であることを証明せよ。 (2) 数列 (an} の極限値を求めよ。 3 2 を満たす数列{an} について 【類関西大

なぜ絶対値をつけるんですか 絶対値をつけるとグラフの形が変わって、極限値も変わってしまいませんか？ 緑線の部分です

e 微分係数と導関数 33 Check 連続と微分可能 例 題 150 x°sin (xキ0) 関数S(x)= 0 は、x=0 で連続か. また, x=0 で (x=0) 微分可能か、 考え方 連続も微分可能もそれぞれ定義に戻って考える。 (連続) f(x) が x=a で連続 → limf(x)==f(a) く微分可能〉 f(x) がx=a で微分可能 → f(a)=lim f(a+h)-f(a) メーロ h→0 h が存在する とき「微分可能であれば連続」であるが,「連続であっても, 微分可能とは限らな い」ことに注意する。 0s sin- =1, x>0より。 0Fsin 解答 *キ0 で lim f(x)=f(0) であるか確 ズ→0 かめて、x=0 で連続かと うか調べる。 x*>0 より,各辺にxを 掛けても,不等号の向きは limx=0 より, 2sin x 0 ズ→0 ズー0 したがって, lim f(x)=limx'sin =0 変わらない。 x→0 x→0 x 各辺をx→0として極限 をとり,はさみうちの原理 を利用する。 f(0)=0 より,lim f(x)= f(0) となり、 ズ→0 関数f(x) は x=0 で連続である。 f(0+h)-f(0) 次に、 lim h→0 h x=0 で微分可能かどうか 調べる。 1 h'sin -0 h =lim |y=f(x) h→0 h =limhsin 1 ……の 0 h→0 h 0Shsin- Sal, limlカl=0 より, ①は、 klol h→0 limhsin -=0 h→0 (0)=0 ( よって,f'(0) が存在するので, 関数 f(x) は x=0 で微分可能である。 )x=a で連続であることとは別に x=a で微分可能であることを示す必要がある。 練習 150 (xキ0) xsin 関数 f(x)= は, x=0 で連続か. また, x=0 で微分可能 0+(x=0) →p.33 i ginz ト 「NOILIO 417

(2)の1行目で、なぜ0<・・・の条件が出てくるのか教えてください。はさみうちを使うことを見越していい感じの条件見つけてきたって感じですか？

例 題 100 はさみうちの原理3 のさであ 次の極限値を求めよ、の大景き タェ x] X imn2 2k-1)(2k+1)) 226 第3章 数列の極限 Check 例題1 (東京理料) a=1+ 1 (2) lim(n 2れ n→ 0 k=n R 1/1 (2) li え方 (1 ーD24+)-(2-1- 24+1) と部分分数に分解する。 (2) k21 のとき, 0<(4R-1)<だくだ+k であるから、, 1 考え方 (1) 4 考え方(1) くより、K(R+1)<声く(2k-1)(2k+1) が導かれる +k 4°-1 2 1」 2n 三-1)2k+1)=(2ォ-1 2k+1) |2k-1 解答(1) k=n (1 1| 4n-1 4n+1 解答 2n-1 2n+ 1/"(2n+1 2n+3, 1/1 2n-1 よって、 1 4n+1 J 2n n 2k-1)(2k+1)) n = lim カー 2(2n-1 4n+1/ lim → 0 k=n エ - = im 1 1/1 1 2 n 4+ n (2) k21より、0<ー(4R°-1)<だくだ+k が成り立つから、 1 4 *+k 4-1,つまり, n2 。R)くくー <n意く --点 k(R+1) (2k-1)(2k+! 2n よって、 1 2n …0 k=n (2k-1)(2k+1) 21 1 k=n ここで、 2n lim{n =lim{n 1 1→ k=n k+1 n 1 →0 n n+1 2n+! n+2 2n =lim n → 0 n 2n+1 また。-e 2n 、n 2 (1の結果を用いると、lim nこ 2k-1)(2k+1) 4 (2k-1)(2k+1)-4:n2 =(2々-1)(2k+1) より, 1 よって、①, ②, ③とはさみうちの原理より, 4. 8 k=n 2 102 練習 次の極限値を求めよ lim(n k=n n→0 100 22 3

⑴についてです。 n≧3はどこからきましたか？

重要例題10 次の(1), (2) が成り立つことを示せ。 n =2 27 n=1 n (1) lim =0 カ→ 27 SOLUTION CHART (1) 求めにくい極限 はさみうちの原理を利用 二項定理を用いて, に Cnae をはさみうちにする(重要例題 2" n S-rS の利用 (2) 無限級数Enr" まず部分和 S, を求め, n→ の極限をとる。 kl1\k-1 部分和 S.=2-と2(G)は、 S.--S, をf は, Sー- S を代 k=1 k=1 解答 (1) n23 のとき, 二項定理により n(n-1) n(n-1) 2 2 0<くカー1 よって 2 2" n-1 ここで, 2 lim =0 であるから n n→o n-1 lim -=0 n→。 22

数3 極限です 二項定理を使った証明が分かりません 画像の(1)です

184 基本 例題106 数列の極限 (5) はさみうちの原理2 OO000 基本 nはne3の整数とする。 無限等比数 1 (1) 不等式2">-バが成り立つことを、二項定理を用いて示せ。 (2) lim の値を求めよ。 ()の極 基本 105 指針>(1) 2=(1+1)"とみて、 二項定理 を用いる。 (a+b)"=q"+.Cia""'b+.C:a"""が+ +.C.-iab-+が (2) 直接は求めにくいから、 前ページの基本例題 105同様、はさみうちの原理を用い る。(1)で示した不等式も利用。 解説 数列a, ar 初項r、公 く数列{ [1] rン 二重定 CHART 求めにくい極限 不等式利用で はさみうち 解答 (1) n3のとき 2*=(1+1)"=1+,Cit«Ca+ +Ca-1+1 n=1,2の場合も不等式は 成り立つ。 h>0 21+n+(nー1)+n(n-1)(nー2) 42"21+.C+CataCo (等号成立はn=3のとき) パ+ーn+1> 1 よって >が (2)(1)の結果から 6 0< 2* 各辺の逆数をとる。 よって キ 0< 2* lim 6 =0であるから 各辺にが(>0)を掛ける。 よ lim はさみうちの原理、 【4] 振影 0=

この極限のロピタル以外の解き方を教えて欲しいです。どなたかお願いします🙇‍♂️

Iim

黄色のハイライトからピンクのハイライトへの式変形が理解出来ません。(写真2枚目) わかりやすく教えていただきたいです🙇🏻‍♀️

関数げ(x)を次のように定義する。 Jonda 本品 C1-c0s% 1 x40のとき) f}= 0 (2)f'12)を求めま。 (a=0のとき) *#0のとき 高の微分より fla)- X sina 1+ c0S8 だ? A 44 X-0 aとき frx) 与えけれた式は 「原、意を通るといっている け!(スこ0)(1点)のとき fm)-0だから点な感している。 f(2)=4 <肉数じゃなくて点! f(2): 200 関数ではなくて点(値)を微か したらダメ! 20 X=00ともの園数がなかったら (生分の定義を使って計算あればしい。 そもをも0のときって微分可能? 0以9トはどんなクラフかれからない 問題で1火こ0のとき). いってい3から1点,ちなめ 京を指している。そを作欠 したら×!! マ徴可能かどうがわからない。 0

(5)について質問です。解答では2が答えになっていますが、私は(3)の答えより2と4が答えだと思います。私の何が違うのでしょうか。

○2 f(z)=22 とし, 数列 {a,} を a=1, an+1=f(an) (n=1, 2, …) / によって定める。 (1) anくan+1 (n=1, 2, …) を示せ. (2) an<2(=1, 2, …) を示せ。 (3) f(z)=zをみたす:を求めよ。 (4) f(a)=aのとき, α-an+1< alog2 -(αlan) (n=D1, 2, …) 2 が成り立つことを示せ。 (5) lim an を求めよ. ただし, e>2であることは証明なしに用いてよい. n→o (大分大·医/(5)のただし書きを変更) ン し