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重要 例題282 共通部分の体積
DOO
両側に無限に伸びた直円柱で, 切り口
が半径aの円になっているものが2
つある。いま,これらの直円柱は中心
中心軸
1
軸が一の角をなすように交わってい
1
るとする。交わっている部分(共通部
分)の体積を求めよ。
8章
【類日本女子大)
40
基本270,271
体
積
指針>重要例題 281 と同様に立体のようすはイメージしにくいので, 断面を考える。
○ 立体の体積断面積をつかむ
ここでは,中心軸が作る平面からの距離がxである平面で切った断面を考える。 直円柱は、
その中心線と平行な平面で切ったとき,断面は幅が一定の帯になる。したがって, 帯が重
なっている部分の断面積を考える。
解答
2つの中心軸が作る平面からの距離がxで
ある平面で切った断面を考える。
π
口幅2/ーx の帯が角
で交わっている
4
1
2-
から,その共通部分は1辺の長さが
2-x/2=2、/2、αーx
のひし形である。
切断面のひし形の面積は
2/2/-x-2αーx
1
Dr
真横から見た図
=4/2(a°-x°)
よって,求める体積をVとすると, 対称性から
X
a
*a
V=2\ 4/2 (a°-x)dx
=8/2|ax-。
-3 1a
16/2
3