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基本例題 118 連続する整数の積の性質の利用
(1) 連続した2つの整数の積は2の倍数であることを証明せよ。
de
(2) 連続した3つの整数の積は6の倍数であることを証明せよ。 エビス
(3) nが奇数のときは24の倍数であることを証明せよ。 ×
なお、(2) は(1) (3) (1) (2)の性質を利用してよい。
基本 117
指針 (1), (2) 連続した2つの整数には偶数が連続した3つの整数には3の倍数が含まれる。
① 連続した個の整数には、の倍数が含まれる
この性質は証明なしに用いてもよいが,基本例題 117 と同じように考えてみよう。
する
くとも!がつまれた [3] はん+I) (n-1)=(n-1)(n+1)
から?[2]ばん-(ごれて考える
解答
以下, kは整数とする。
(1) 連続する2つの整数をn, n +1とし, A=n(n+1) とする。nが偶数なら
[1] n=2k のとき
n+1は奇数。
A=2k(2k+1)
[2] n=2k+1 のとき A=(2k+1)(2k+2)=2(2k+1)(+1)
したがって, Aは2の倍数である。
(2) 連続する3つの整数をn-1, n, n +1 とし,
B=(n-1)n(n+1) とする｡
(1) より, 連続する 2 整数の積は2の倍数であるから,Bは2
の倍数である。ゆえに,Bが3の倍数であることを示せば,
Bは6の倍数であることが示される。
[1] n=3k のとき, Bは明らかに3の倍数である。
[2] n=3k+1 のとき
n-1=(3k+1)-1=3k
[3] n=3k+2のとき
n+1= (3k+2)+1=3(k+1)
よって, n, n-1, n+1のいずれかが3の倍数となるから,
Bは3の倍数である。 したがって, Bは6の倍数である。
(3) n が奇数のとき, n=2k+1 と表される。
n³-n=(n-1) n(n+1)=2k(2k+1)(2k+2)
よ?
00000
4k(k+1)(2k+1)=4k(k+1){(k-1)+(k+2)}
******
=4{(k-1)k(k+1)+k(k+1)(k+2)}
(2) より (1) (k+1), k(+1)(k+2) はともに6の倍数
であるから, a, bを整数とすると,①より
n³-n=4(6a+6b)=24(a+b)
よって, nが奇数のとき, nは24の倍数である。
nが奇数なら
n+1は偶数。
連続する3つの整数をn,
n+1, n+2 としてもよい。
注意 (2)では,n を6k,
6k+1,
6k+506
の場合に分けることも考え
られるが,これは面倒。
(検討
連続した個の整数の積は
n! の倍数である
ことが知られている
n=2k-1 としてもよい。
◄(k-1)k(k+1),
(k+1)(k+2) はともに連
続する3整数の積
