第2節 | 数学的帰納法
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C 数学的帰納法による不等式の証明
応用
察 例題
不等式 2">2n+1 を 数学的帰納
は3以上の自然数とする。
法によって証明せよ。
解説
n≧3であるから,次のことを示せばよい。
16
5
0
[1] n=3のとき, 不等式が成り立つ。
[2] k≧3として, n=kのとき不等式が成り立つと仮定すると,
n=k+1のときにも不等式が成り立つ。
証明
この不等式を ① とする。
第1章
数列
②から
[1] n=3のとき 左辺 =23=8,
右辺 =2・3+1=7
よって, n=3のとき,①は成り立つ。
[2] k≧3として, n=kのとき ①が成り立つ, すなわち
B
2k>2k+1
②
と仮定する。 n =k+1のとき ①の両辺の差を考えると
2k+1 {2(k+1)+1=2.2 (2k+3)
2.2k-(2k+3)>2(2k+1)-(2k+3)
②をう
つまり
右は
A 2
=2k-1>
●B×2
←
よって
2k+1_{2(k+1)+1}> 0
3以上の
から10より
大きい
すなわち
2k+1>2(k+1)+1
よって, n=k+1のときにも ① は成り立つ。
大
何を仕入
しても より
[1], [2] から, 3以上のすべての自然数nについて ① は成
り立つ。
終
4 > 0 で, n は自然数とする。 不等式(1+α)"≧1+na を 数学
