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基本 例題 41 隣接3
次の条件によって定められる数列{an} の一般項を
(1) a1=0, a2=1, an+2=an+1+6an
(2) a1=1, a2=2, an+2+4an+1-5an=0
P.475 基本事項
基
次の条件に。
指針 まず 2 を x2, Qn+1 を x, an を1とおいたxの2次方程式 (特性方程式)
その2解をα, β とすると, αキβのとき
an+2-αan+1=B(an+1-aan), an+2-Ban+1=α (an+1-Ban)
が成り立つ。 この変形を利用して解決する。
を解く、
A
(1) 特性方程式の解は x=-2,3→解に1を含まないから,Aを用いて
表し,等比数列{an+1+2an}, {an+1-3a}を考える。
(2) 特性方程式の解は x=1, -5→解に1を含むから,漸化式は
2通りに
an+2-Qn+1=-5(an+1-an) と変形され, 階差数列 を利用することで解決できる。
(1) 漸化式を変形すると
解答
an+2+2an+1=3(an+1+2an)
an+2-3an+1=2(an+1-3an)
①,
(2)
①より, 数列{an+1 +2an} は初項a2+2a1= 1, 公比3の
等比数列であるから an+1+2an=3n-1
②より, 数列 {an+1-3an} は初項a2-3a1=1, 公比 -2
の等比数列であるから an+1-3an= (-2)"-1
5an=3n-1-(-2) -1
③④から
したがって
an=
-{3"-1-(-2)"''}
......
x2=x+6を解くと,
(x+2)(x-3)=0
x=-2,3
α=-2,B=3として指
針のAを利用。
指針
特性
a
と変
よっ
これ
①C
an
a'
漸化
ゆえ
解答
公
ar
両 22
an+1 を消去。
数
Paco
x2+4x-5=0を解くと、
カ
(2) 漸化式を変形すると
an+2-an+1=-5(an+1-an)
ゆえに、数列{an+1-an} は初項a2-a1=2-1=1, 公比
-5の等比数列であるから an+1-αn=(-5)"-11
よって, n≧2のとき
an=as+2(-5)=1+1・{1-(-5)"-1}
k=1
(7-(-5)*)
1-(-5)
n=1 を代入すると, 1/3(7-(-5)}=1であるから,上の
式はn=1のときも成り立つ。
したがって
an
a=(7-(-5)"}
(x-1)(x+5)=0から
x=1, -5
別解 漸化式を変形して
an+2+5an+1=an+1+5a
よって an+1 +5an
=an+5an-1
......=a2+50=7
an+1+5a=7を変形して
+1-7—7— = -5 (ax-7)
an+1-
ゆえに
6
an
an-17-(1-1)-(-5)**
..
6
an=(7-(-5))
練習 次の条件によって定められる数列{an} の一般項を求めよ。
③41_(1) a=1, a2=2, an+2-2an+1-3an=0
(2)a=0, a2=1,50ml)
検討
続
