重要 例題 68 高次不等式の解法
次の不等式を解け。 ただし, a は正の定数とする。
x-(a+1)x2+(a−2)x+2a≦0
指針≫ まず,不等式の左辺を因数分解する。 因数定理を利用してもよいが,この問題では,最低
次の文字αについて整理する方が早い。
STARS AL
(x-a)(x-B)(x-x)≧0の形に変形したら、後は各因数 x-α, x-β, x-y の符号を調べ
て, (x-a)(x-β) (x-y) の符号を判定する。
なお, a, B, yに文字が含まれるときは,α, β, y の大小関係に注意する。
解答
不等式の左辺をαについて整理すると
(x²-x²-2x)-(x²-x-2)a≤0
x(x+1)(x-2)-(x+1)(x-2) a ≤0
よって
[ [1] 0<a<2のとき
右の表から,解は
(x+1)(x-2)(x-a) ≤0
x≦-1, a≦x≦2
[2] α=2のとき
不等式は (x+1)(x−2)≦0となり,
(x-2)≧0であるから
x-2=0 または x+1≦0
ゆえに, 解は x≦-1, x=2
[3] 2<a のとき
右の表から,解は x≦-1, 2≦x≦a
[1]~[3] から, 求める解は
0<a<2のとき x≦-1, a≦x≦2
a=2のとき
x≦-1, x=2
2 <a のとき
x≦-1, 2≦x≦a
xC
x+1
x-a
x-2
f(x)
([1] f(x)=(x+1)(x-2)(x-α)
-1
x-x2-2x
|=x(x-x-2)
x+1
x-2
x-a
f(x)
-
-
-
=x(x+1)(x-2)
...
-
0|||||0
-
-1
0
-
+|||||+
0
+bx+(atxi$=3=
- [3] f(x)=(x+1)(x-2)(x-a)
0+01
+ 0
+| | | | | +:
a
-
+|+||
の
T
+ +
2+ 0-0
:++
+ +
-
1
-
+/+/+/+
a
0 + +
+ + + +
***
0 +
0 +
