至急です！！数学Bの数学的帰納法についての質問です。 ⑴　下から4行目の式から、次の式が成り立つと言えるまでの考え方 ⑵　⑴と同じく下から5行目の式から、次の指揮が成り立つと言えるまでの考え方 ⑶　下から5行目の不等号の式の導き方と下から3行目の式が成り立つと言えるまでの考... 続きを読む

第6章一 ;(TI1 664. 与えられた不等式を①とおく。 (1)(I) n=1 のとき, (左辺)=D1°=1, (右辺)= -=より,①は 3 3 成り立つ。 (I) n=k のとき,①が成り立つと仮定すると, (I)1°+2°+…+k?> より, 3 12+22+3°+… +>ダ 3 n=k+1 のとき, (Dの左辺)-(①の右辺) を示す。 3 A>Bの証明は, A-B>0 を示す方法がやりやすい。 n=k のとき成り立つと仮定 3 した不等式 3 3 3 3 067 より, 12+2°+3°+………+パ+(k+1)?> 3 を利用している。 よって, n=k+1 のときも①が成り立つ。

数学IIの定積分の問題です。 なんでゼロになるのかわかりません。、

=4x 63 次の定積分を求めよ。 S-3+1)-Se 5982-3メ+リ-14ース+1リ3ね (x-4xー3x4x +1-14 dx 32-2x1d2 2 -1 (-1)-ト) 第6章

すみません。この問題の(4)なのですが、双曲線とx軸で囲まれた面積ってポイントの公式では何故下半分の面積は出ないのでしょうか。下半分もe→e^-1の範囲で囲まれてると思うのですが。

)2 第6章 積分法 203 (3)(2)より また,(1)より 22 -=4 リ=エ 1 面積(I) よって,Cは,y=±x を漸近線とする 頂点(±2,0)の双曲線の右半分、 (1)=e'+e", g(t)=e"-e-* (-8<tく8)とする。 1) f(t)の最小値を求めよ。 |2){f(1)}?-{g(t)}?の値を求めよ。 3) 媒介変数!を用いて,エ=f(t), y=g(t) と表される曲線をCとす る。このときCの概形を図示せよ。 4)1=-1, t=1に対応するC上の点をそれぞれ A, Bとする。線分 AB と曲線Cによって囲まれる図形の面積Sを求めよ。 よって,右図。 (4) A(e-'+e, e-le), リ=ーエ =1 B(e+e', e-e-') だから, Sは B 右図の斜線部分の面積を表す。 =0 ここでグラフがェ軸対称だから y20 で考えればよい. lete-! re+e-1 : S=2yda =ーエ tニー1 面積に関する最後の問題です。 かなり難しいかもしれませんが、 誘 ここで,y=e'-e-! と置換すると, 精講 グラフより,z:2→e+e! のとき 導に従ってチャレンジしましょう。 (1) 微分してもよいのですが,「e'>0, e-'>0」に着目すれば…。 t:0→1 また, dt dr -=f(t)=e*-e-t (3)(2)から曲線Cは双曲線(3)であることがわかり, (1)から,双曲線のどの S=2e-e-)(e-e")dt=2f(e"-2+e"")dd 部分が適するかがわかります。 (4) 媒介変数で表された関数について, その関数のグラフと 軸とで囲まれた 4t-e =e- 部分の面積は|yldz で表せます。 re+e-! 注 Vー4dz の積分は エ=t+ と置換してもできます。 解 答 (1) e'>0, e-'>0 だから, 相加平均之相乗平均より ポイント 媒介変数で表された関数と』軸で囲まれた部分の面積 f(t)=e'+e-'22ei.e-i=2 (等号は,t=0 のとき成立) ゆえに f(t)22 となり,最小値2 注「(t)22」から, すぐに「f(t)の最小値は2」といってはいけませ ん、「f(t)22」は「f(t)>2 または f()=2」 という意味ですから, f(t)=2 になるtの存在(ここでは t=0) を述べなければなりません. ただし,微分して増減表をかいた人には, この作業は不要です。 「相加平均之相乗平均」 を使えば, 早く答えにたどり着くかわりに, 論理的なワナにかかる可能性があるということです。 (2){F(t)}?-{g(t)}?3(e'+e-)?-(e'-e-)? イ下の注 は |yldz として,置換積分 演習問題 111 r={-sint 媒介変数tを用いて、 (0StS2z)で表される曲線 リ=1-cost をCとする。 =(e+2+e-2)-(e"-2+e-2")=4 (別解){f(t)}?-(g(t)}?={f(t)+g()}{S(t)-g(t)}=2e'·2e-'=4 (1) 接線の傾きが1となるC上の点をP, 接線の傾きが -1となる C上の点をQとするとき,P,Qのr座標を求めよ。 (2) 曲線Cと線分 PQ で囲まれた部分の面積Sを求めよ。 無6章

武断政治とは何ですか？

場合の数 パッと見で、9c2だと思ったんですが、このような場合分けが必要な理由は、2が4つとか、3が3つあるので、どの2を使うかの区別が必要だからってことですか？(語彙力)とりあえず単純に解けないのはなんでだと思いました。

9個の数字2, 2, 2, 2, 3, 3, 3, 4, 4のうち4個を使って4桁の数を 4,4, 4, 4, 5, 5, 5, 6, 6, 7の 10個の数から4個を使って4桁の数を 第6章 場合の数 Check 例題 200 整数を作る問題(2) (2) 3の倍数は何個できるか 作るとき, (1) 全部で何個の整数ができるか。 このような場合は, 丁寧に場合分けをして考える。 1通り 考え方 2,3, 4から重複を許して4回とるのとは違う。 2222の1通りのみ 解答 (1) ()4個の数がすべて同じ場合{O, O, O, C} l○に入る数は2のみだから, ○は2か3. 4個中3個の数が同じ場合 {O, O, O, △} △は○以外のとちら 2通り ○に入る数は2か3だから, △に入る数は○以外の2通り か。 4! 通り 3! 4つの数の順序を 選んだ4つの数の並べ方は, 4! 2×2×- 3! える。 -=16 (通り) (同じものを含む したがって, () 4個中同じ数が2個, 2個の場合(O, O, △, △} ○, △に入る数は 選んだ4つの数の並べ方は, 列) C2 通り 4! 通り 2!2! したがって, 4! -=18 (通り) 2!2! 3C2×- (v4個中2個の数が同じで, 残りは違う数の場合 {○, ○, △, 口} 3C」通り 選んだ4つの数の並べ方は, ○に入る数は, 4! -通り 2! したがって, 4! C」× 2! -=36 (通り) よって,(i)~(w)より, 1+16+18+36=71 (個) (2) 3の倍数は各位の数の和が3の倍数より, (2, 2, 2, 3), {2, 2, 4, 4), {2, 3, 3, 4} のとき, 和の法則 p.419 参照 各位の数の和 3の倍数である。 最小値8,最 4! 4! 4! 2! 3!'2!2! よって, より,和が9 ときを考える -=22 (個) パターンに分類するときは, 数え上げを利用する (1) 全部で何個の整数ができるか. (2) 9の倍数は何個できるか。

数Ⅱ、微分のところです この問題で、b=(3t^2-1)a-2t^3 から、f(t)= (3t^2-1)a-2t^3とおき、y=f(t)とy=bとの共有点の個数が〜みたいな感じで解いていたのですが、その方法だとなぜダメなんですかね？

第6章 微分法 Xy平面上の点 (a, b) から曲線 y=xーx に3本の相異なる接線が引けるための条件を求め, または 3-aであ よって、曲線上の点 (t, ピーt)における接線の方程式は EX その条件を満たす点 (a, b) のある範囲を図示せよ。 『162 y=xーx から って、曲線上の点(t, やーt)における接線の方程式は y=3x-1 (関西大) すなわち この直線が点(a, b) を通るとき yー(ーt)=(3?-1)(x-t) y=(3t°-1)x-2 ロyーf()=f(t)(x-) 2ポ-3at+a+6=0 b=(32-1)a-2t" 0 さdt T0 整理して 3次関数のグラフでは,接点が異なると接線も異なるから, 点 ロ本冊p.297 (4, b)から3本の相異なる接線が引けるための必要十分条件 INFOMATION 参照。 は、tの3次方程式①が異なる3つの実数解をもつことである。 よって,f(t)=2t-3at"+a+6 とすると、 f(t) は極値をもち,) 極大値と極小値の積が負となる。について f(t)=6t(t-a)であるから, 求める条件は 極大 ソ=f() aキ0 かつ S(0)f(a)<0さるかさ 05(x)1 二常0いメ (a+b)(b-a°+a)<0 … 2 2でa=0 とすると が<0 となり, これを満たす実数6は存 在しない。ゆえに, 条件 αキ0 は②に含まれるから,求める すなわち 条件は2である。3ー9=3ょ+ 3輪 レ> における「a+b>0 表は です 16-a°+a<0 la+b<0 16-d+a>0 J6>-a コb=a-a のとき 6'=3a°-1 のから bt 2/3 90 13 が=0 とすると または 3 a=± 3 3 3 ¥3 0 3 a=± のとき て常い 16<αーa 3 すなわちて、 12/3 9 bニ+23 (複号同順) b=モ- 9 または l6>αーaであるから、 xイ-R4)! よって,求める範囲は図の斜線部分。 ただし,境界線を含まない。 0 (x)1 -26さ b=q°-a の原点におけ る接線。

なんて傾き2aなんですか？aはなぜ必要なんですか？

B グラ ない点から引しいた接線 関数 y=x°+3 のグラフに点C(1, 0) から引いた接続線の方程式 応用 を求めよ。 考え方> 接点のx座標をaとすると,y座標は α'+3である。 点(a, a'+3) における接線の方程式を求め,その接線が点Cを 通ることを式で表すと, aの値が求められる。 y=x°+3 を微分すると y'= 2x 接点の座標を(a, a'+3) とすると,接線の傾きは2a となるから, その方程式は yー(a°+3) = 2a(x-a) すなわち y=2ax-a°+3 …… この直線が点C(1, 0) を通るから 0= 2a-a'+3 よって α'-2a-3=0 すなわち (a+1)(a-3)= 0 C a=-1, 3 No X したがって, 求める接線の方程式は, ①より a=-1 のとき y=-2x+2 a=3 のとき y=6x-6 答 y=-2x+2, y=6x-6 第6章 微分法と積分法

(2)の問題なんですがiを使う理由を教えてください また、虚数を代入していい理由を教えてください

-3x+7で 求めよ。 91 OOO○ 重要 例題55 高次式を割ったときの余り (1) nを2以上の自然数とするとき, x"-1を(x-1)°で割ったときの余りを求 【学習院大) 53 (重要防、 めよ。 (2) 3x100+2x7+1をx°+1で割ったときの余りを求めよ。 基本 53,54 さる。 指針>実際に割り算して余りを求めるのは非現実的である。b.88~90 でも学習したように, ー1)(x-2)で まりを考える。 割り算の問題 等式A=BQ+Rの利用 R の次数に注意,B=0 を考える 2章 がポイント。 (1),(2) ともに割る式は2次式であるから,余りは ax+b とおける。 (1) 割り算の等式を書いてx=1を代入することは思いつくが,それだけでは足りない。 そこで,次の恒等式を利用する。ただし,n は2以上の自然数, a'=1, b°=1 った余りは,1 整式または定額 x=iを割り算の等式に代入して,複素数の相等条件 お (x)を利用。 (2) x+1=0の解は x=±i A, Bが実数のとき A+Bi=0→A=0, B=0 えて 1, 1,2 解答 a, b, cの値 (1) x"-1を(x-1)'で割ったときの商をQ(x), 余りを ax+b とすると,次の等式が成り立つ。 x"-1=(x-1)Q(x)+ax+b 別解(1) 二項定理の利用。 x"-1={(x-1)+1}"-1 =,C(x-1)"+…+Ca(x-1)? トかりを見つけ 両辺にx=1を代入すると のに代入して 0=a+b すなわち x"-1=(x-1)°Q(x)+ax-a =(x-1){(x-1)Q(x)+a} b=-a (第1式)から =(x-1){(x-1)"-24…+Ca} +nx-n なわち b=3 ゆえに,余りは nx-n ここで,x"-1= (x-1)(x^-1+xカー2+ +1)であるから x7ー1+x"-2+…+1=(x-1)Q(x)+a また,(x-a)の割り算は微 下の練習は に有効である。 分法(第6章)を利用するのも 有効である(b.305 重要例題 194 など)。微分法を学習す る時期になったら,ぜひ参照 してほしい。 この式の両辺にx=1を代入すると +cを n個 で割ったとき -)とすると,目 よって b=-aであるから b=-n a=n ゆえに,求める余りは (2) 3x100+2x7+1をx+1で割ったときの商をQ(x), 余りを お0= (5) ax+6(a, bは実数)とすると, 次の等式が成り立つ。 10+221 nx-n から -1)(x-2)46 3r+2)+Rd ] 3x100+2x7+1=(x°+1)Q(x)+ax+b 3100+2:97+1=ai+b 両辺にx=iを代入すると (x)+a]+Rl -1 を代入。 x=-iは結果的に代入し なくてもよい。 O 100-(2)0-(-1)0-1, ア=()®;=(-1)*;=iであるから 3·1+2i+1=ai+b 味の 4+2=6+ai a, bは実数であるから したがって, 求める余りは すなわち 4実数係数の整式の割り算で あるから,余りの係数も当 a=2, b=4 然実数である。 2c+4 を代入してもよ サ代感因さたの マりが5で (東京電機 (1) nを2以上の自然数とするとき, x"を(x-2)で割ったときの余りを求めよ。 55(2) x10+x"+1 をx°+4で割ったときの余りを求めよ。 練習 (p.94 EX39 EX37.39 19剰余の定理と因数定理

数Ⅱの微分 下から1行目の意味がいまいちです。なぜ>0であることを言ってるのでしょうか？

よって,①は異なる2つの実数解をもつから f(x) は極大値と 極小値をもつ。①の2つの実数解を α, Bとすると, 解と係数 PR 関数 「(x)3D2*°+ax°+(a-4)x+2 の極大値と極小値の和が6であるとき, 定数aの値を求め 第6章 微分法 235 振は CU, 8) あさ 1 =0 すなわち 6x*+2ax+a-4=0 ① の判別式を 184 よ。 本 (類 名城大) D =a-6(a-4)=a^-6a+24=(a-3)?+15>0 ロ/(x) が極値をもつこ Dとすると てのは異なる2つの実数解をもつから f(x) は極大値と 4 とを確認。 大 の関係により α+B=-9, aβ=2 3° a-4 6 15-S ここで f(a)+f(B)=2c+aa"+(a-4)α+2 る +28°+aB°+(a-4)B+2 =2{(α+B)°-3aB(α+B)}+allα+B)?-2aB} における g()の =(α+B)°-3aB(α+B) α+B°=(α+B)?-2aB -2(-)-3-(-)} 大 Do. 2を消去。 一+- + 3at a-4 6 って、 g(は a 4 30 2 a a-4 27 3 +a +4 3 内 A合で 食9 3 6 a 4 2 ? Sであ a 4 a+4 27 3 3 のチ 4 3 32+4 極大値と極小値の和が6であるから のf(a)+f(B)=6 a 4 +a+4 D ,3 4 27 3 3 すなわち a+4=6 27 3 3 口因数定理を利用。 g(a)=a°-9a°+36a-5 とおくと g(3)=0 り ー =年3 整理すると a-9a+36a-54=0 (a-3)(a-6a+18)=0 交の よって a=3 -6a+18=(a-3)?+9>0 であるから

この(1)の場合分けで何故(iv)の時は○しか考えなくていいのですか？△、□はかんがえなくていいのですか？

;第6章 場合の数 Check 例 題 200 整数を作る問題2) 合 頭の宝 00 9個の数字2, 2, 2, 2, 、3, 3, 3, 、4, 4のうち4個を使って4桁の数を 作るとき, (1))全部で何個の整数ができるか. (2) 3の倍数は何個できるか.