すみません。この問題の(4)なのですが、双曲線とx軸で囲まれた面積ってポイントの公式では何故下半分の面積は出ないのでしょうか。下半分もe→e^-1の範囲で囲まれてると思うのですが。
)2
第6章 積分法
203
(3)(2)より
また,(1)より 22
-=4
リ=エ
1 面積(I)
よって,Cは,y=±x を漸近線とする
頂点(±2,0)の双曲線の右半分、
(1)=e'+e", g(t)=e"-e-* (-8<tく8)とする。
1) f(t)の最小値を求めよ。
|2){f(1)}?-{g(t)}?の値を求めよ。
3) 媒介変数!を用いて,エ=f(t), y=g(t) と表される曲線をCとす
る。このときCの概形を図示せよ。
4)1=-1, t=1に対応するC上の点をそれぞれ A, Bとする。線分
AB と曲線Cによって囲まれる図形の面積Sを求めよ。
よって,右図。
(4) A(e-'+e, e-le),
リ=ーエ
=1
B(e+e', e-e-') だから, Sは
B
右図の斜線部分の面積を表す。
=0
ここでグラフがェ軸対称だから y20
で考えればよい.
lete-!
re+e-1
: S=2yda
=ーエ
tニー1
面積に関する最後の問題です。 かなり難しいかもしれませんが、 誘
ここで,y=e'-e-! と置換すると,
精講
グラフより,z:2→e+e! のとき
導に従ってチャレンジしましょう。
(1) 微分してもよいのですが,「e'>0, e-'>0」に着目すれば…。
t:0→1 また,
dt
dr
-=f(t)=e*-e-t
(3)(2)から曲線Cは双曲線(3)であることがわかり, (1)から,双曲線のどの
S=2e-e-)(e-e")dt=2f(e"-2+e"")dd
部分が適するかがわかります。
(4) 媒介変数で表された関数について, その関数のグラフと 軸とで囲まれた
4t-e
=e-
部分の面積は|yldz で表せます。
re+e-!
注 Vー4dz の積分は エ=t+
と置換してもできます。
解
答
(1) e'>0, e-'>0 だから, 相加平均之相乗平均より
ポイント
媒介変数で表された関数と』軸で囲まれた部分の面積
f(t)=e'+e-'22ei.e-i=2
(等号は,t=0 のとき成立)
ゆえに f(t)22 となり,最小値2
注「(t)22」から, すぐに「f(t)の最小値は2」といってはいけませ
ん、「f(t)22」は「f(t)>2 または f()=2」 という意味ですから,
f(t)=2 になるtの存在(ここでは t=0) を述べなければなりません.
ただし,微分して増減表をかいた人には, この作業は不要です。
「相加平均之相乗平均」 を使えば, 早く答えにたどり着くかわりに,
論理的なワナにかかる可能性があるということです。
(2){F(t)}?-{g(t)}?3(e'+e-)?-(e'-e-)?
イ下の注
は |yldz として,置換積分
演習問題 111
r={-sint
媒介変数tを用いて、
(0StS2z)で表される曲線
リ=1-cost
をCとする。
=(e+2+e-2)-(e"-2+e-2")=4
(別解){f(t)}?-(g(t)}?={f(t)+g()}{S(t)-g(t)}=2e'·2e-'=4
(1) 接線の傾きが1となるC上の点をP, 接線の傾きが -1となる
C上の点をQとするとき,P,Qのr座標を求めよ。
(2) 曲線Cと線分 PQ で囲まれた部分の面積Sを求めよ。
無6章
すみません。y>＝0 の範囲で積分とはどうやるのですか。普通に積分したら奇関数の様に0が出てきそうな気がするのですが。