(3)の最後のところで、 なぜβが(1＋i)になるのか分かりません。 教えてください！

*12 0でない複素数 α, βが a"-2aB+48*=0を満たすとき,次の問いに答えよ。 ただし、 する。 の偏角は 0<argくと B B miai Q を求めよ。 B (2) 複素数平面上の原点をO, αの表す点をA, Bの表す点をBとするとき、 △OAB はどんな三角形か。 (2) 8=1+i のとき, 四角形 OABC がOBを対角線とする平行四辺形となるよ うに,点Cを表す複素数を定めよ。 【類 04 東京電機大)

θが出る数にするには2 √ 3をかけると書いてありますが2 √ 3をかけると言う事はどのように導くのですか？

26.次の計算をせよ。 (年) (岩) 18 1 す+isin等) 12) COS 2 2 -6 -6 解説を見る (0 (-4-(0sing) -6 3 5 COS π+isinx) 5 2 =cos(-5x)+isin(-5x)=-1 () (/5+30"={2/3(+が-(/3)(co0号+isin号) =14(co キsin) +isin→) (5)r=(/3)*+3 =2,/3 :144 cos 3 =144| -72-72/3i アー -6

この問題教えてください🙏

n-4 201 複素数 2= /3-i) が実数になるような自然数nのうち, 最 も小さいものを求めよ。また,このときのzを求めよ。 (東京理科大)

2番3番がわかりません、 どうやって求めるのですか？

票跡ら ェ-2(cos+isin)のとき、次の複素数を 12 2=2(cos 10 極形式で表し,それらを図示せよ。 5 2 (1) 2? +iz x 1 10 T る N●

3枚目の、赤線部分がnではなくn−1になるのはなぜですか？

102 Lv. ★★★ 解答は164ページ。 えを絶対値が1の複素数とする。このとき以下の問いに答えよ。 O) 2-2の実部が0となるようなzをすべて求めよ。 (の 2+zの絶対値が1となるようなzをすべて求めよ。 (3) nを自然数とする。z"+1の絶対値が1となるようなzをすべてかけ 合わせて得られる複素数を求めよ。 (東北大)

数学3 複素数平面 (3)の紫マーカー部分が分かりません。なぜこうなるのですか？範囲指定が無いのにこのような変形は可能なのですか？

ことを示せ。 頭出 極形式(1) 例題 46 次の複素数を極形式で表せ。ただし, (1), (2) における偏角0は0S0<2x とする。 (2) 2 (4) sina +icosa (3) 2cosa -2isina 2=a+bi 図で考える b 右の図のr, 0に対して z=r(cos0+isin0) 2=a+bi 極形式で表す 1の O 絶対値 一偏角 (3) 2(cosa-isina) は極形式ではない。 + でなければならない。 (4) sina +icosa は極形式ではない。 cos かつ sin でなければならない。 (与式)= sina+icosa (与式)= 2{cosa+i(-sina)} II cos口かつ sin 口となる口は? COs口かつ sin □となる口は? Action》 極形式は, まず絶対値を求め, 正弦余弦から偏角を求めよ 1 cosロ+isin口 の形に変 形する。 開(1) |3+/3i|= V3+(/3) =D 2,3 3 sin0 = 2,3 〇とせよ 3 1 3 CosO = 2/3 とおくと, 2 について 3+/3i 2 V3 2,3 →b=D0 0S0<2π の範囲で T 0 = 6 2= 2 O 3 3+/5i=2/3(cos +isin π よって +isin) 6 | 2i (2) |2| = 0° +2° 3D2 cosé = 0, sin0=1 とおくと,0<0<2π の範囲で (2-2) について → bキ0 0= 2 = 2(cos+isin 2 π よって 2i = 2( cos 2 (3) |2cosa-2isina| = V(2cosa)?+(-2sina) =4(cos°α+ sin°α) =D2 sina= sin(-α)であるから 2cosa-2isina =2{cosa+i(-sina)} = 2{cos(-α)+isin(-a)} 三 Cosa = cos(α), 日 T0 4偏角は -aである。 +2)%3D 00 0(4) |sina+icosa| V sin°α+cos°α=1 って π = COS 2 π sin 2 a)であるから sina COSQ = T π ーa+isin 2 偏角は-αである。 キ0 sina+icosa= cos| 2 2 ミせ。 練習46 次の複素数を極形式で表せ。 (2) -3 - sina+icosa (4) 3sina-3icosa 107 →p.131 問題46 2章5複素数平面 SNロPK

⑵でその段の↓が意味わからないです

えを0でない複素数とする。点z-- が2点i, 点えの存在する範囲を複素数平面上に図示せよ。 指針> 2Sz+ 10 と不等式で表されているから、 z+- 重要 a 29 不等式を満たす点の存在範囲 (3) 複素数平 57 基本 22 えを0でない複素数とする。2が不等式2名z+ 在する範囲を複素数平面上に図示せよ。 16 S10 を満たすとき、点zが存 2 16 重要5 値である。 16 は実数である。 そこで、まず が実数 %3D● を適用して導かれる条件式に注目。 2 員域として の式であるから, 極形式を利用する方法も考えられる。 なお,z+ 別解 1章 解答 16 z+ は実数であるから2+ 15-z+ 16 別解 z=r(cos0+isin0) (r>0, 0S0<2x) とすると き る 16 16 よって + +2= る ゆえに a+16z=z|zパ+16z 16 え+ る (zーる)|2f-16(z-を)%3D0 (2-2)(aピ-16)=0 (z-2)(2|+4)(z|-4)%30 |2|=4 よって 部。 ゆえに +ーino 16 よって |z-4| 16 |z|>0から, 1a|=-4は不適。 したがって 2=2 または +2 は実数であるから [1] 2=2のとき,zは実数である。 16 アー r PSBP A, Bを 三分線およ ある。 =0 または sin0=0 16 2Sz+ が成り立つための条件はz>0であり,このとき すなわち r=4または0=0 (相加平均)2(相乗平均)により 16 2+ る 16 る- =8 または0=π [1] r=4のとき (等号はz=4のとき成り立つ。) 16 2+ =8cos 0 2 すなわち,2<z+ 2 16 は常に成り立つ。 よって,248cos 0<10 と -1Scos0S1から 2>0のとき, z+ 16 K10を解くと, 2+16<10zから 1 ハcos0<1 4 る [2] 0=0 のとき (z-2)(2-8)S0 [2] |2|=4のとき, 点々は原点を中心とする半径4の円上に したがって 2S2S8 16 ス+ =r+ 2 16 r ある。22=4° であるから 16 =ス 16 -ハ10か r よって,2<r+ 16 -A10から 左側。 2<z+ 2Sz+zS10 ら 2SrS8 [3] 0=πのとき 1355 16 え+ の外部。 ゆえに <0 2 X すなわち 1S(zの実部)<5 011 2 14 これは条件を満たさない。 [1], [2] から,点zの存在する範囲は、 右図の太線部分。 以上から,左図の太線部分。 せよ。 10 Liを結ぶ線分上を動くとき, 練習 3 29 4復素数と図形

この複素数平面の問題の(2)の回答の3行目のOP=OQが成り立つとき、|z2|=|1/z2|が成り立つのでしょうか。

Z7 虚部が正である複素数zが等式2-1|31 (*)を満たしている。 このzに対して、 複素数平面上に3点0(0), P(z), Q() をとる。 (1)(*)を満たすzのうち, z=%+hi (かは正の実数) と表されるものを z」 とするとき, 3 |2 pの値を求めよ。ただし, iは虚数単位である。 (2) (*) を満たするのうち,OP=0Q を満たす2を 22 とするとき, 2g を求めよ。 また, (*) を満たするのうち, OPLOQ を満たす。を zg とするとき, 23 を求めよ。 23-22 (3) (1), (2)の z1, Z2, Z3に対して、 42 21-23 を極形式で表せ。 ただし, 偏角は0以上2ェ未満 23-22 1 とする。また, w= とし、複素数平面上に点R(w) をとる。 zが(*) を満たし 21-23 ながら変化し, 3点0, P, Rが三角形の頂点をなすとき, △OPR の面積Sの最大値とそ のときの複素数zを求めよ。 (配点 40)

マーカーの部分が2になるのはなぜですか？

複素数 z= cosθ+isinθ+V3(icos0-sin0) において, 0が 0%0%ー 。〈複素数の絶対値で表された式の最大値·最小値) ニ元の範囲を ]である。ただし, iは虚数単位とする。 (16 東京慈恵会医大 動くとき,I/2z-1+i}の最大値は 172 〈複素数の絶対値で表された式の最大値· 最小値) るを極形式で表す。 図示して考える。 -sin0+/3 =2sin(0+)から、 2= (cos0-3 sin0)+i(sin0+V3 cos0) COs 0 =2{cos(0+)+ isin(0+ cos 0-(3 sine /22-1+il=V22- -2cos(e+)と変形一 きることが推測できる。 『2z- isin 複素数平面上で複素数2を表す点をP, を表す点をAとおくと os0-/a V2 Coso. V22-1+il=2 AP 2 0S0S号r であるから 元 37 3 よって,Oより点Pは右の図の太い実線部分 を動くから,3点P, 0, Aがこの順に一直 線上に並ぶときに, APの長さは最大になる。 したがって,求める最大値は V2(OP+OA)=/2×(2+1) =(2 ×3=3/2 n 1 @ P *2 c07 10 iei Lvie) 2 3 A

黄色でマーカーした部分が2になるのが理解できません。 ①の式から、｛｝の中も合成して2√2とならないのですか？

= cose+isin0+/3(icos0ーsin0) において, 0が 0<0m- 図、〈複素数の絶対値で表された式の最大値 最小値) 2 複素数 z= の範囲を こき, Iv2z-1+i|の最大値は「コである。ただし, i は虚数単位とする。 (16 東京慈恵会医大) 指針 172 〈複素数の絶対値で表された式の最大値 最小値〉 るを極形式で表す。 図示して考える。 (cos0-J3 sin0)+i(sin0+/3 cos 0) 合sin0+V3-cos 0 2ミ -2sin(e+号)から。 =2sin(0- 0+ +isin 0+ の 3 cos 0-V3 sin0 /Zォ-1+1=/2|2-7 --foam(-号)+sn(-)| 1-i =2cos(0+)と変形 きることが推測できる。 =V22-{cos 複素数平面上で複素数2を表す点をP, を表す点をAとおくと ma 2 cosO. /22-1+il=/2 AP 2 2 Tであるから 2 π 0S0S 3 S元 3 eaco3-6m よって,①より点Pは右の図の太い実線部分 を動くから,3点P, 0, Aがこの順に一直 線上に並ぶときに, APの長さは最大になる。 したがって,求める最大値は V2(OP+OA)= V2×(2+1) =/2×3=3/2 P -2 con 18号 en Lre) 3 0} π -4 A x -2