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)2
第6章 積分法
203
(3)(2)より
また,(1)より 22
-=4
リ=エ
1 面積(I)
よって,Cは,y=±x を漸近線とする
頂点(±2,0)の双曲線の右半分、
(1)=e'+e", g(t)=e"-e-* (-8<tく8)とする。
1) f(t)の最小値を求めよ。
|2){f(1)}?-{g(t)}?の値を求めよ。
3) 媒介変数!を用いて,エ=f(t), y=g(t) と表される曲線をCとす
る。このときCの概形を図示せよ。
4)1=-1, t=1に対応するC上の点をそれぞれ A, Bとする。線分
AB と曲線Cによって囲まれる図形の面積Sを求めよ。
よって,右図。
(4) A(e-'+e, e-le),
リ=ーエ
=1
B(e+e', e-e-') だから, Sは
B
右図の斜線部分の面積を表す。
=0
ここでグラフがェ軸対称だから y20
で考えればよい.
lete-!
re+e-1
: S=2yda
=ーエ
tニー1
面積に関する最後の問題です。 かなり難しいかもしれませんが、 誘
ここで,y=e'-e-! と置換すると,
精講
グラフより,z:2→e+e! のとき
導に従ってチャレンジしましょう。
(1) 微分してもよいのですが,「e'>0, e-'>0」に着目すれば…。
t:0→1 また,
dt
dr
-=f(t)=e*-e-t
(3)(2)から曲線Cは双曲線(3)であることがわかり, (1)から,双曲線のどの
S=2e-e-)(e-e")dt=2f(e"-2+e"")dd
部分が適するかがわかります。
(4) 媒介変数で表された関数について, その関数のグラフと 軸とで囲まれた
4t-e
=e-
部分の面積は|yldz で表せます。
re+e-!
注 Vー4dz の積分は エ=t+
と置換してもできます。
解
答
(1) e'>0, e-'>0 だから, 相加平均之相乗平均より
ポイント
媒介変数で表された関数と』軸で囲まれた部分の面積
f(t)=e'+e-'22ei.e-i=2
(等号は,t=0 のとき成立)
ゆえに f(t)22 となり,最小値2
注「(t)22」から, すぐに「f(t)の最小値は2」といってはいけませ
ん、「f(t)22」は「f(t)>2 または f()=2」 という意味ですから,
f(t)=2 になるtの存在(ここでは t=0) を述べなければなりません.
ただし,微分して増減表をかいた人には, この作業は不要です。
「相加平均之相乗平均」 を使えば, 早く答えにたどり着くかわりに,
論理的なワナにかかる可能性があるということです。
(2){F(t)}?-{g(t)}?3(e'+e-)?-(e'-e-)?
イ下の注
は |yldz として,置換積分
演習問題 111
r={-sint
媒介変数tを用いて、
(0StS2z)で表される曲線
リ=1-cost
をCとする。
=(e+2+e-2)-(e"-2+e-2")=4
(別解){f(t)}?-(g(t)}?={f(t)+g()}{S(t)-g(t)}=2e'·2e-'=4
(1) 接線の傾きが1となるC上の点をP, 接線の傾きが -1となる
C上の点をQとするとき,P,Qのr座標を求めよ。
(2) 曲線Cと線分 PQ で囲まれた部分の面積Sを求めよ。
無6章
