123
重 例題 71
最大・最小から係数の決定 (3)
00000
関数f(x)=x2-2ax+α+2a-3 がある。 ただし, 0≦x≦1とする。
(1) f(x) の最小値を定数αを用いて表せ。
基本 64
のを過
6445
程
介
2次関数の最大・最小と決定
の位置
ら、一般
の交点
■るので、
e)(x-B
もよい。
(2)f(x)の最小値が0となるような定数aの値を求めよ。
CHART & SOLUTION
係数に文字を含む2次関数の最大・最小
軸と定義域の位置関係で場合分け
(1)f(x)=(x-a)+2a-3 から, 軸は直線x=αである。軸の位置が
[1] 定義域の左外 [2] 定義域内 [3] 定義域の右外にある場合に分ける。
(2)(1)の結果を利用する。なお, 場合分けの条件を忘れないように。
脚生
(1)f(x)=(x-a)+2a-3 であるから,与えられた関数の
グラフは下に凸の放物線で,軸は直線 x=α である。
[1] α < 0 のとき
x=0 で最小値m=f(0) =α+2a-3
[2] 0≦a≦1のとき
x=α で最小値m=f(a)=2a-3
[3] 1 <a のとき
x=1で最小値m=f(1) =α²-2
(2) f(x) の最小値が 0 となるのは, (1) においてm=0 とな
るときである。
[1] α < 0 のとき
m=0 であるから a² +2a-3=0
◆軸と定義域の位置関係
で考える。
[1] 軸
最小
x=ax=0
x=1
[2]
軸
121
最小
x=0x=ax=1
|軸
3章
8
真を利用
よって
(a-1)(a+3)=0
ゆえに
a=1,-3
形で考え
[2] 0≦a≦1のとき
α < 0 を満たすものは
a=-3
m=0 であるから 2a-3=0
[3]|
3
これを解いて
a=
(x-
2
-bx t
これは 0≦a≦1 を満たさない。
最
.*
[3] α >1 のとき
ともで
これを解いて
m=0であるから d²-2=0
a=±√√2
x = 0
x=1x=a
α>1 を満たすものは
a=√2
a=-3√2
[1] ~ [3] から
うに!
PRACTICE
値を求めよ。
719
関数 f(x)=-x-ax+2α(0≦x≦1) について,最大値が5となるとき,定数αの
[類 国士舘大 ]
