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基本例題 206 3次関数の極値の条件から関数決定
3次関数f(x)=ax+bx+cx+d が x=0で極大値2をとり, x=2で極小値
-6をとるとき,定数a, b, c, dの値を求めよ。
基本201
指針f(x)がx=αで極値をとる (α)=0 であるが, この逆は成り立たない。
よって、意が成り立つための必要十分条件は
(A) x=0 で極大値 2
- f(0)=2, f'(0)=0
OS
x=2で極小値-6→S(2) -6, S' (2)=0
(B) x=0の前後で∫(x) が正から負に, x=2の前後で/'(x) が負から正に変わる。
を同時に満たすことである。
ここでは、 必要条件(A)から, まず a, b, c, d の値を求め、 逆に、これらの値をもとの関
数に代入し,増減表から意の条件を満たす (十分条件) ことを確かめる。
解答
S'(x)=3ax2+2bx+c
(0)=2,(0)=0
x=0で極大値2をとるから
必要条件(変数4個で条件
(2)=0
(2)=6,
x=2で極小値-6をとるから
式が4個であるから、係数
は決定する)。
よって
d=2, c=0,
8a+4b+2c+d=-6, 12a+4b+c=0
これを解いて
a=2, b=-6, c=0, d=2
ここから、十分条件である
逆に,このとき
ことの確認｡
.....
f(x)=2x-6x²+2.
①
S'(x)=6x2-12x=6x(x-2)
0
***
x
f'(x)=0 とすると
x=0, 2
S'(x) +
0
f(x) の符号の変化を増
関数 ① の増減表は右のように
|極大
f(x) >
減表で示している。
2
なり、条件を満たす。
15
したがって a=2, b=-6, c=0, d=2
322
***
7
2
0
極小
-6
.....
+
(2
