286 第7章 数列
応用問題 1
次の数列の和を求めよ、
S=1・3+3・9+527+....+ (2n-1)・3"
精講
各項は2つの数がかけ算されていますが、 左側の数は
1, 3, 5, と等差数列をなし, 右側の数は3, 32, 3, ・・・・・・ と等
比数列をなしています。つまり、これは「(等差数列)×(等比数列)」の形をし
た数列の和です。
この数列自体は、等差数列でも等比数列でもないので、公式を適用すること
はできませんが,等比数列の公式を導くときに使った「ずらして引く」の考え
方は有効です. それにより, 等比数列の和に帰着させることができます。
解答
S-3S を計算する.
×3
S = 1・3 + 332 + 533 + ...... + (2n-1
×3
3S =
1 .32 + 3-33 + … + (2n-3)3" + (2n-1)・3+1
-2S = 1.3 + 2 3 + 2・3° + ...... +
2.3"
(2n-1) 3+1
初項 2・3218. 公比3.項数n-1の等比数列の和
18(3-1-1)
=3+
-(2n-1).3n+1
3-1
=3+9(3-1)-(2n-1) ・3+1
=3+3 +1-9-(2n-1)37+19・37-1=32.3"-1=3n+1
=-6-(2n-2) •3+1
G
よって, S=3+(n-1)・3n+1
コメント
両辺を2で割る
数列の和を求めた後, 計算の結果に自信がない場合は, S n=1,2,3
などを代入した値
3+0・32=3,3+1・3°=30, 3+2・3=165
が,もとの数列の初項 第2項 第3項までの和
1・3=3, 1・3+3・9=30, 1・3+3・9+5・27=165
と一致することを確かめておくとよいでしょう. 数列の和の計算において,ほ
とんどの計算ミスは,この方法で検出することができます。
例
の利
の
水
