（4） 塾の先生に教わった時、1番収束が遅い2^tを分母分子に掛けると教わったのですがなぜ1番収束が遅いものを掛けるのですか？

poo 基本 例題 50 関数の極限 (2) ・・・x→∞の極限 1 次の極限を求めよ。 (1) lim(x33x2 +5) →∞ (3) lim(√x2-x-x) →∞ (2) lim 3x2+4x-1 2x2-3 4* (4) lim 8118 3+2x 00000 87 (極限 f(x) a+o 8-8, よって、 /p.82 基本事項 1, 2, 4, 基本 47 の形の極限 (不定形の極限) であるから, くくり出しや 有理化に 極限が求められる形に変形する。 (1) 最高次の項x でくくり出す。 (2) 分母分子のそれぞれにおいて、分母の最高次の項x2でくくり出す。 なお、くく り出した x2 は約分できるから,結局, x2 で 分母分子を割ることと同じである。 √√x2-x-x 2章 ⑤関数の極限 (3) 1 と考えて,分子を 有理化する。 ごもよ (4)x→∞のとき a>1 なら α 0, 0<a<1なら α →∞に注意。 +10 極限が求められる形に変形 CHART 関数の極限 くくり出し 有理化 ++ (1) lim(x-3x²+5)=limx (1-2/+2/23)= 5 |=8 解答 X11 x→∞ 最高次の項xでくくり 出す。 (2) lim 811X 3x2+4x-1. 2x2-3 lim = X118 3+ 4 1 x x² = 3 3+0-0 2-0 = 2- x² 2 32 (3) lim(√x 2-x-x)=lim X8 (x2-x)-x2 x-x+x =lim →∞ -x x→∞ -1 =lim X→∞ -x+x 1-- +1 x √1-0+1 分母の最高次の項のx2 で分母分子を割る。 無理式には有理化が有効。 なお,x→∞ であるか xで分母分子を割 る際はx0 と考え、 wwww xxとする。 4x lim (4)lim *--* 3*+2* 8 [練習 次の極限を求めよ。 50 12 2* 0 0+1 +1 分母分子を2で割る。 2x2+3 3x3+1 (3) lim

（3）の青線を引いたところです。 なぜ範囲を絞ってx≠0の時の範囲を求めているのかがわかりません。教えていただきたいです

基本 例題 43 関数の連続 不連続 00000 次の関数f(x) が, x=0で連続であるか不連続であるかを調べよ。 ただし、 [x] (ガウス記号) は実数xを超えない最大の整数を表す。 (1)f(x)=x3 (3) f(x)=[cosx] CHART & SOLUTION (2) f(x)=x2(x=0), f(0)=1 p.70 基本事項 6 f(x)が x=α で連続 ⇔ limf(x)=f(a) x-a f(x)がx=aで不連続xaのときのf(x) の極限値がない または limf(x)=f(a) xia limf(x), f(a)を別々に計算して一致するかどうかをみる。 ローズ 2章 5 関数の 解答 (1) limf(x)=0,f(0) = 0 から x→0 limf(x)=f(0) x→0 B (1) f(x)↑ よって、関数 f(x) は x=0 で連続である。 (2) limf(x)=0,f(0)=1 から f(x)↑ x→0 -1 limf(x)=f(0) 1 [01 -1 x0 よって、 関数 f(x) は x=0 で 10- 不連続である。 (3)xx0とすると 範囲を定めるのはガウスの値を1つに定めるため? O 1 x グラフでは、x=0 でつ ながっているかどうか をみる。 0≤cosx<1 (3) f(x)A よって [cosx]=0 ゆえに また よって lim[cosx]=0 x→0 f(0)=[1]=1 limf(x)=f(0) X18 したがって, 関数f(x) は x=0で不連続である。 極限値は口に限りなく近くではとらないこと 最大の整数を表しているから口を下回らないように すること 1 12/2 2 0 ガウス PRACTICE 43

(1)について質問です。 n→∞なのに、不定形を解消するための式で出てくるn/nは ∞/∞で不定形という扱いではなく、1という扱いをすることが出来るのはなぜですか？🙏 お願いいたします🙇🏻‍♀️

次の極限値を求めよ. (1) lim 2n-1 nn+1 (2) lim n→∞ n(1+2+..+n) 12+22 +... +n2 (3) lim (√n+1-√n-1) n→∞ -) 精講 liman を考えるときは, nをものすごく大きくした場合に式の値 n→∞ どうなるかを調べればよいのですが、 このとき,次の4つの形は 定形とよばれる形で,このままでは極限値の存在すらはっきりしません. 8 ① 2 (3) 818 (4) ∞.0 そこで式を変形することによって,この状態から抜け出すことを考えま この作業を 不定形の解消といいますが、入試にでてくる数列の極限はほ どこの形に限られています。 そして,最終的に使われる公式は lim 定数 n→α n =0 ですが,不定形を解消 ための作業の内容は問題によって異なります。 その作業をマスターするこ この基礎問のテーマです. (1) lim 2n-1 n→∞ n+1 =lim n→∞ 2- 1+ 1 n 1 n =2 解答 の不定形 1 lim -=0 n

この問題でピンクの線の発想が全然出てこなかったのですが、どうすればわかりますか？

の極限 3 次の極限が有限の値となるように定数a, b を定め,そのときの 極限値を求めよ. lim x→0 √9-8x+7cos 2x - (a + bx) x² 〔大阪市立大〕 アプローチ (イ) f(x) lim = x→a g(x) = A, lim g(x) = 0 ⇒ lim f(x) = 0 xa x→a ますか です (A は実数). これをかみくだいていうと, 「分数関数の極限において, 分数関数が収束し分母が0に収束するときは分子も0に収束する」というこ とです. なぜなら, lim_f(x) x→a == lim f(x) 〔分子について考える〕 g(x) 〔もとの分数関数の形を作って調整しておく〕 f(x) = = lim lim g(x) xa 〔積の極限は極限の積] x→a g(x) xag(x) =A.0=0 となり分子も0に収束することがいえます。 本間は分母が x2 だからこの議論を2回くり返すことになります.つまり f(x) f(x) lim : lim X = x→0 x2 = (有限の値) x→0 X ととらえて次のことがいえます x→0 lim_f(x) = 0, lim f(x) = 0 x→0 X この2つの条件から a, b を求めます. (口) 極限は不定形のタイプを確認してから式を変形する習慣をつけておきま しょう.それはそれぞれの

赤線部のように分かるのはなぜですか？🙏 お願いいたします🙇🏻‍♀️

lim(v4n2+n+1-an) が収束するような定数αの値を求めよ. 81 また、そのときの極限値lim (√4n2+n+1-an) を求めよ. →∞

18なのですが、①解答の青線で引いたところで、分母が0の時は定義されないはずなのになぜ場合わけして示されているのか、 ②また緑線のところで、収束するのは-1<公比≦1とわかっているはずなのになぜ他の場合も考えて場合わけするのか。を教えていただきたいです。

そのときの極限値を求めよ。 ③ 17 18 ③ pを実数の定数とし、次の式で定められる数列{an} を考える。 a1=2, an+1=pan+2 (n=1, 2, 3, ......) [囲を求めよ。 数列{a} の一般項を求めよ。 更に, この数列が収束するようなかの値の範 [愛媛大] 18, 19 うに B 19° 座標平面上の点であって, x座標, y 座標とも整数であるものを格子点と 4 |||| を満たす枚子占

?の部分が分かりません。解説お願いします🙇

112 第6章 微分法と積分法 *412 関数 y=x(x-a)' の増減を次の各場合について調べ, 極値があればその 値を求めよ。ただし、aは定数とする。 (1) a<0 (2) a=0 (3) a>0 例題 3次関数が極値をもつ条件 22 関数f(x)=x-3kx2+3kx+1が極値をもつように, 定数kの値の 範囲を定めよ。 考え方 f(x)が3次関数のとき, f(x)は2次関数である。 f(x)が極値をもつ⇔ 2次方程式(x)=0が異なる2つの実数解をもつ 解答 f(x)=x-3kx²+3kx+1 を微分すると f'(x)=3x²-6kx+3k f(x)が極値をもつのは、2次方程式 3x²-6kx+3k=0が異なる2つの実数解を もつときである。この2次方程式の判別式をDとすると =(-3k)2-3-3k=9k-9k=9k(k-1) 異なる2つの実数解をもつのはD>0のときであるから 9k(k-1)>0 これを解いて <0, 1<h 【?】 f'(x) = 0 が異なる2つの実数解をもつとき, f(x) が極値をもつといえる のはなぜだろうか。 「f'(x) の符号」に着目して考えてみよう。

まるで囲ってある1/xについてです。 f（x）の中には1/xが含まれてないのにどうしてなくなるんですか？？（説明下手でごめんなさい、、、。 教えてほしいです。お願いします。

* Example 14 ***** xox 極限値 lim .log{log(x+e) } を求めよ。 [類 14 防衛医大] 解答 f(x)=log{log(x+e)} とおく。 f(x) の定義域は x+e>0 かつ log(x+e) > 0 よって x+e>0 かつ x+e>1 ゆえに x>1-e Key f(x) =log{log(x+e)} とおいて,微分係数の また,f(0)=log (loge) =10g1=0 であるから 定義 lim f(x)-f(a) x-a =f'(a) x-a ( lim110g{10g(x+e)}= lim f(x)-f(0) xox ここで,f(x) は x>1-e において微分可能な関数で を利用する。 x→0 x-0 [大 [大町 よって 1 f'(x)={10g(x+e)} xte = log (x+e) log(x+e) = 1 (x+e)log(x+e) (x f(x)-f(0) x→0 x-0 10am mil = f'(0) = 1/4 =(0)=1/ 答 ( xx in☺log log{log(x+e)}=lim (D mil

これが連続でないことの証明です。 ｢x=rcosθ、y=rsinθと置いて上の式を変形させるとθだけの関数になって、極限はθによって変化する＝極限が存在しない➡️連続でない｣ と解いたのですが合っていますか？ 他の解き方の方がよければ教えて頂きたいです🙇🏻‍♀️

(2)= { (4) f(x, y): 2 2 x²y² 4 x² + y² 0 ((x, y) ≠ (0,0) のとき) ((x,y)=(0,0)のとき)

このページで言っているのは、適度に変形してから微分した方がよいということでしょうか？1番左上に、対数微分法の利点と書いてありよく分からなくなってしまいました。

Play Back 対数微分法の利点と不等式の証明 探究例題 5 不等式の証明での工夫 次の問題について,太郎さんと花子さんと次郎さんが話している。 問題: eを自然対数の底, すなわち e = lim1+ 817 +1) とする。すべての正の 実数xに対し、不等式(1+1)* <e が成り立つことを示せ。 (東京大改) 太郎: (右辺) - (左辺)=f(x) とおいて,微分すれば簡単そうだよ。 x f(x)=e-(1+1/2) とおくと, f(x) =･･･あれ? x ... 花子:(1+1/2) はそのままだと微分できないね。(関数) (M) のような形を微分する ときは、対数微分法を利用したよね。 太郎:なるほど。f(x)=e-(1+1/2) 2 の両辺の対数をとればよいかな。 次郎 : それだと, 対数微分法はうまくできないよ。 そもそも, lim 1+ x 1 817 =eより、 x→∞としたとき1+- の極限値はeとなるから,(1+1/2)がエン XC で単調増加することを示すことができればよいよね。 (次郎さんの解答) g(x) = 1+ +12) とおくと,x>0より g(x)>0であるから両辺の対数をと ると x logg(x)=log(1+1/2) ⇔logg(x) = x{log(x+1)-logx} 両辺をxで微分すると ... (A) 花子:対数をとるとよいということだね。 与えられた不等式を、対数をとって変形 してから考えるとどうなるかな。 (花子さんの解答〕 x>0より (1+1)>0であるから,(1+2) <e の両辺の対数をとると ⇔log(x+1)-logx- <0 ..① 10g(1+1/2) <1⇔x{log(x+1)-logx} <1 D (0 <) 18ol x 20 与えられた不等式と同値である① を示す。 ①の左辺をm(x) とおいて, m(x) を xで微分すると (B) (1) (A)に続くように,問題を解け。 (2) (B)に続くように,問題を解け。 (