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座標空間に4点A(2, 1, 0), B(1, 0, 1), C(0, 1, 2), D(1, 3, 7)がある。
OO000
|3点A, B, Cを通る平面に関して点Dと対称な点をEとするとき, 点Eの座標
座標空間に4点A(2, 1, 0), B(1, 0, 1), C(0, 1, 2), D(1, 3, 7) がある
3点A, B, C を通る平面に関して点Dと対称な点をEとするとき,点B の。
を求めよ。
演習 例題79 平面の方程式の利用
[京都大)
演習78
D
まず、前ページと同様に,平面 ABC の方程式を求める。
次に、2点D, Eが平面 ABC に関して対称となるための条件
[1] DE」(平面 ABC)
[2] 線分 DE の中点が平面 ABC 上にある
を利用して点Eの座標を求める。
指針> ここでは,平面の方程式を利用して解いてみよう。
h
土d 万 商平る
直線
平面 ABC
E
ただし
解答
平面 ABC の法線ベクトルをカ3(a, 6, c)とする。
AB=(-1, -1, 1), AC=(-2, 0, 2) であるから,
n-AB=0, n-Aで=0 より
平面 ABCの方程式を
ax+by+cz+d=0 として
求めると,
こaーb+c=0,0-2a+2c=0
2a+6+d=0,
よって
b=0, c=a
n=a(1, 0, 1)
atc+d=0,
6+2c+d=0 から
ゆえに
aキ0からn=(1, 0, 1)とすると, 平面 ABC の方程式は
6=0, c=a, d=-2a
ゆえに x+z-2=0
1×(x-2)+0×(yー1)+1×(z-0)==0
の
ル方料式
よっ
のえに
すなわち x+z-2=0
E(s, t, u) とする。
『 DE」(平面 ABC)であるから
ゆえに,DE=kn(kは実数)とおける。
DE/
元上(平面 ABC)
(e8-
よって
(s-1, t-3, u-7)=k(1. 0. 1) g4
s=k+1, t=3, u=k+7
DE=OE-OD
ゆえに
2
の線分 DE の中点(s+1 +3
I+S
2?
u+7
が平面 ABC上にある
2
から, O に代入して
『中点の座標を平面 ABCW
方程式のに代入。
s+1
u+7
ks
2
2
-2=0
よって
s+u+4=0
3
k=-6, s=-5, t=3, u=1
2, 3から
0ート+(2+9)+(1+)
NH-
したがって
1のを③に代入して
の
闘!
んて
て、点ん
