（3）で、マーカーを引いてあるところがよくわかりません。 特に、2-αのところです。

302 隣接3項間の漸化式 (3) 2辺の長さが1 と2cmの長方形のタイルがある.縦が2cm,横が ncm 1 の長方形の場所をこれらのタイルで過不足なく敷きつめるとき,そ Check のような置き方の総数を an で表す. ただし, nは正の整数である. (1) a1,a2 を求めよ. (3) {an}の一般項an を求めよ. 枚置くかで2通りに分け られる.これより,n+2/ までのタイルの置き方は、 +2=an+1+an となる. (2) An+2 An+1, an £¶v›¯‡t. タイルの置き方を具体的にイメージしてみる。 のタイルをA.のタイルをBで表すと, 2までタイルを置いたとき, 一番右端のタイルの置き方は, Aを1枚置くか,Bを2 (i) 2n+1 An+2 conce どうなる 720 5 (1) n=1のとき, タイルの置き方は1通りより, α=1 あとは確定 0-1+√/5, a=- 2 通り Aのダウ n+1 nn+2 B= **** n=2のとき, タイルの置き方は2通りより, a2=2 (2) 横が (+2cm のとき, タイルの置き方は、次の2 つに分けられる。 または (すでに横が (n+1) cm までタイルが置かれて(n+1)cm まで置いて いて、最後に縦に1枚置いて,(n+2 cm とする. いるので, an+1(通り) すでに横がncmまでタイルが置かれていて, 最縦に2枚並べる置き友 後に横に2枚置いて,n+2cm とする。 は(i)に含まれる. よって, (i), (i)より, an+2=an+1+an (3) 特性方程式 x2=x+1, つまり, x²-x-1=0 の2つの解を p.534 参照 1+√5 8=1-√√5 α== B= 2 2 数列{an+1- aan} は初項az-αa1=2-α,公比βの等比数列より, an+1-dan=(2-α)βn-1 また,α+B=1,B2=β+1 より, 2-α=β+1=β2 hp- an+1-αan = B2.pn-1B+L① an=a_g(an+1-βn+1) 通り Bのタイル2枚 んでおけば あとは確定 よって, また, an+2-Ban+1=α (an+1-βan) となるから,上と同様に, an+1- Ban=an+1 ·② ②① より n 10 とすると, an+2-αan+1=β(an+1- αam)となる. 1-√√5 £), an=- 2 533 ESPE 第8 *), an= // ((¹+√5) **¹-(1-√5) **) \n+1 5 2

数列に関する問題です。 (3)についてですが、3項間漸化式を二次方程式に見立てている理由がよくわからないです。 数列なので「an+2」が「なにかの二乗」というわけでもないのにどうして解の公式を用いることができるのですか？ どなたかわかりやすい言葉で教えてください🙇🏻‍♂️

数列{an}が,a1=-1, 22ak=3an+1-2an-1 (n=1, 2, 3, …) を満たすとき, (1) az を求めよ. (2) 3an+2-7an+1+2an=0を示せ. を求めよ. (3) an ●10 和と一般項の関係, 3項間漸化式 Sn を含む漸化式は, 「an=Sn-Sn-1(n≧2)」.....☆ を用いて, So を消去し, an an=Sn-Sn-1 だけの漸化式に直す. ☆は一般にはn≧2のときのみに通用することに注意 (n=1 とするとn-1=0 になってしまう!). n=1のときは, α = S1 を用いる. an+2+pan+1+gan=0 an+2+pan+1+gan=0 の一般項を求めるには、x+px+q=0の解α, B を 用いる。 解と係数の関係より、カニー(a+β),a=aß. よって, an+2-(a+B)an+i+aBa„=0.これを an+2-aan+1=B(an+1-αan), an+2-Ban+1=a(an+1- Ban) と変形する. a=βのときは, an+2-αan+1=α(an+1-αan)より, an+1-can=q"-1(a2-aa)として, an+1=aan+san-1(s=a2-aa1). これを α"+1で割り, bn=an/a" とおくと{bn}は等差数列になる. 解 答 12 Sh= Zak とおくと, Sn=3an+1-2an-1 (1) ① でn=1 とすると,2S1=3a2-2a-1 S=q=-1だから, -2=3a2+2-1 .. az=-1 (2) ① のnを n +1 にすると,2Sn+1=3an+2-2an+1−1 ②-①より, 2an+1=3an+2-3an+1-2an+1+2an ④より, an+1 ∴.3an+2-7an+1+2an=0 7 (3) (2)より, ax+2/1/30m+1+1/30m=0 [右の傍注に注意し] ③を変形して an+2-2an+1 ·(an+1-2an) ⑤ より, an+1 よって, an+2¯ = n k=1 1 3 3 \n-1 1-20, =(1/2)^'(a2-241)=(1/2)"^'(-1+2)=(1/2)*^^ 3 2n-1(02-1/241)=2"-1(-1+1/3)=(-/23) 3 an=2n-1 a2 3 3 2 +-³ × (2-6) - {( - ) an= (⑦⑥) 5 3 ・④, an+2' ・2n-1_ (山形大工/一部省略) 1 5 :- =— an+1=2(an+₁ — — ₂) -an 3 '-(1/2)^2}=1/{2n+(1/8)^2} |2"+ J・2n-1 10 演習題 (解答は p.76 ) ←Sn+1-Sn=an+1 7 2 ③ェー -x+ -=0の解は 3 3 (2) (13) 0により. x=2, 1 3 3 ← ④ より {an+1-2an}は公比 等比数列.

至急お願いします。 なぜ絶対値をつけているのでしょうか。 また、波線の部分がどのように導かれたか分かりません。 97について、Bp =xnと置いた理由や、1/2とは何を指すのか教えていただきたいです

ときの極 基本事項 D 基本例題 {r"} の極限(rの値で場合分け) rn-1 2218 mn+1 よって キー1 のとき, 極限 lim- CHART rk1のとき よって lim →∞ r=1のとき \r|>1 のとき ♪” を含む数列の極限 .72 {r"} が収束する, すなわち, r|<1 やr=1のときは, 与式のまま極限を考える ” の極限は,rの値により異なるから 場合分けして考える。 ことができる。 |r|>1 {r^*} >1 のとき, (7) は収束しないが, 1/21 から (12) が収束することを利用 <1 する。基本例題 89 と同様に、分母・分子を”で割ってから極限を考える。 lim n→∞ limr"=0 1218 OLUTION xn-1_0-1 inn+1 nn-1 rn+1 0+1 r"=1. よって ||<1 =lim n→∞ ゆえに n 1- (-1) " 1+ n を求めよ。 r=±1 が場合の分かれ目･････ = -1 lim nnn+1 1+1 lim n→∞ (1) 1-0 1+0 n =1 -- p.141 基本事項 基本 89 =0 =0 inf. r=-1 のとき, nが 奇数ならば r"=-1 であ るから, (分母)=0 となり rn-1 rn+1 が定義されない。 147 ◆分母・分子をr” で割る。 INFORMATION” の極限 この例題からわかるように, " を含む式の極限は,r=±1 を場合の分かれ目として 場合分けして考えるのがポイントである。 また, r|>1 のとき, { r"} は収束しないが, // 1)") 4章 10 数列の極限

別解で、波線引いたαn＋3はどこから出てきたんですか？

例題 117 連立漸化式 列{an},{bn}が次のように定められるとき,次の問いに答えよ。 α=4,b=1, an+1=3an+bm 数列{an+bn}, {an-bn}の一般項を求めよ。 数列{an},{bn}の一般項を求めよ。 CHART OLUTION 数列{an}, {bn}の連立漸化式 2 ………... PRACTICE ‥.①, bn+1=an+3bn....... ② an+1+abn+1=β(an+αb) を導く ・・・・・･! an (またはbm) だけの漸化式を導く 別解 ① から これら②から よって 解答 口 (1) ① +② から an+1+bn+1=4(an+bn) から 数列{an+bn}は,初項 α+b=5,公比4の等比数列である an+bn=5.4-1 ④から ← ① ② から an+1-bn+1=2(an-bn) から 数列{an-bn}は,初項 α-b1=3,公比2の等比数列である an-bn=3.2n-1 隣接3項間の漸化式となる。 an (2) (1)からa=12/12(5.41+3.2 -1, 6n=1/12(5.4" bn=an+1-3an, bn+1=an+2-3an+1 an+2-3an+1=an+3(an+1-3an) an+2-6an+1+8an=0 これを変形すると an+2-2an+1=4 (an+1-2an) an+2-4an+1=2(an+1-4an) 数列{an+1-2an}は,初項a2-2a1=(3a+b1)-2a1=5, 公 比4の等比数列であるから an+1-2an=5.4-1 ・③ 数列{an+1-4an}は,初項a2-4a1=(3a+bì)-4a=-3, 公比2の等比数列であるから an+1-4am=-3.2-1 4 an=(5-4-¹+3.2²-1) ゆえに, ① から bn=an+1-3an = 1/12 (5.4"-1-3.2"-1) 4-1-3.2"-1) inf. an+tab =(an+abm)と変 ると、数列{ant ob 比数列になる。 ①②から an+1+abn+1 =(3a+bml)+clart1. =(3+α) am+(1+301_ B=3+α, a6=1+30 (3+α)=1+30 よって α=±1 ゆえに,数列{ax+bd {bn}は等比数列 る。 inf. CHART & SOLUTION の口につ て。 まず 連立漸化式 辺の和差を求めよう の形を導けることがあ ■an+1を消去する。 117⑨ 次の関係式で定まる?つの数列{an}と{bn}がある。

特性方程式型の漸化式や隣接2項間の漸化式では特性方程式は1次式なのに、隣接3項間の漸化式の特性方程式ではなぜ2次式が出てくるのか教えて下さい…

(2)の1、2行目からなんで3、4行目の形になったかが分からないので、教えてほしいです🙇‍♂️

1個のさいころを投げ,出た目をaとするとき, a%2ならばx軸の正の方向へ 原点を出発点としてさいころを繰り返し投げ, 点Pを順次移動させるとき、自然 586 あとで 隣接3項間 重要 例題133 確率と漸化式 (2) 座標平面上で,点Pを次の規則に従って移動させる。 aだけ移動させ,a23ならばy軸の正の方向へ1だけ移動させる。 数nに対し,点Pが点(n, 0) に至る確率を pn で表し,po=1 とする。 (1) Pn+1 を pn, Dnー1 で表せ。 (2) Dnを求めよ。 (類福井医大 基本123,132 指針>(1) Dn+1 : 点Pが点(n+1, 0) に至る確率。 点Pが点(n+1, 0) に到達する直前の状態 回 を、次の排反事象[1]. [2]に分けて考える。 1] 点(n. 0) にいて1の目が出る。 CHAR [2]点 (n-1, 0) にいて2の目が出る。 開 (2)(1)で導いた漸化式から pnを求める。 ま1さびコ入引前 P。 n-1 n+1 pa-1 D+1 6 解答 (1) 点Pが点(n+1, 0) に到達するには目回 軸方向には移動しない。 [1] 点(n, 0) にいて1の目が出る。) [2] 点(n-1, 0) にいて2の目が出る。 左計 の2通りの場合があり, [1], [2] の事象は互いに排反である。4点(n, 0), (n-1, 0) e. る確率はそれぞれ 1 Dnt にし よって Dn+1= 6 Dn-1 6 Pn, Pn-1 [21 (2) のから D+かー(bntラカュー1)、 であるから 4x=x+から 1 3 Pact 風断主貫の幸齢 6xーx-1=0 11 Dn+1- 2 1 Dn 2 A よってx=ー 2-1 3 1 1 3'2 よって Pn+i+ Dn=(か+ 3 21+) こ haーム=(カーの)(-) A-1, カーから tム=() 3'2 また 1 2 (とする。 3 1年齢さり 目回 2, 1n+1 3 Dー 2 1 1n+1 Dn+1- Dn= 3目間の 2 5 (2-3)-から 6 Dn= 1n+1 ニ 硬貨を投げて数直線上を原点から正の向きに進む。表が出れば1進み, 裏 33 ば2進むものとする。 このとき, ちょうど点nに到達する確率をpn で表り。 だし, n は自然数とする。 (1) 2以上のnについて, pn+1 と pn, Dn-1 との関係式を求めよ。 (2) pnを求めよ。 練習

(2) 最後のマスに2通りの置き方があるのは分かるのですが、なぜそれらを足すのかがわかりません。

例題 302 2辺の長さが1cm と 2 cmの長方形のタイルがある。 縦が2cm, 横が ncmの長方形の場所をこれらのタイルで過不足なく敷きつめるとき, そ のような置き方の総数を an で表す. ただし, nは正の整数である。 (1) a, azを求めよ. (3) {an} の一般項 an を求めよ。 隣接3項間の漸化式(3) 第8章 (2) an+2 を an+1, anを用いて表せ、 考え方 タイルの置き方を具体的にイメージしてみる。 ||のタイルをA, 口のタイルをBで表すと, n n+2までタイルを置いたとき, 一番右端のタイルの置き方は, Aを1枚置くか, Bを2 枚置くかで2通りに分け られる。これより, n+2 までのタイルの置き方は, an+2=an+1+an となる。 n+1 n n+2 n+1 n n+2 an+1通り Aのタイル an通り Bのタイル2枚 (1) n=1 のとき, タイルの置き方は1通りより, a:=1 n=2 のとき, タイルの置き方は2通りより, az=2 (2) 横が(n+2) cm のとき, タイルの置き方は, 次の2 つに分けられる. (i) すでに横が(n+1) cm までタイルが置かれてく (n+1) cm まで置いて いて, 最後に縦に1枚置いて, (n+2) cm とする.いるので, an+i (通り) (i)すでに横がncmまでタイルが置かれていて, 最く縦に2枚並べる置き方 後に横に2枚置いて, (n+2)cm とする. よって, (i), (i)より, (3) 特性方程式 x=x+1, つまり, x-x-1=0 の2つの解を 1+V5 2 解答 日· または w> は(i)に含まれる。 ww an+2=an+1+an p.534 参照 1-15 B= 2 とすると, an+2lean+1=B(an+1lean) となる. α= 数列{an+1- Caan}は初項 a2-aa:=2-α, 公比βの等比数列より, an+1-aan=(2-α)β"-1 また, α+B=1, B"=B+1 より, よって, また, an+2-Ban+1=α(an+1-Ban) となるから, 上と同様に, an+1- Ban=α"+1円 2-α=B+1=8° an+1-Qan=B.B"-1=βn+1 2-のより, 1 an= (a^t1_g*+) Q-B 1+/5 1-15 B= より, an= 1+ 5 カ+1 2 練習 段ある階段を1歩で1段または2段上がるとき, 最上段(n段目)への上がり on0 著し 山( 1の

(3)が分からないです。教えてください

58(隣接3項間の漸化式) [→ 例題 a,=0, az=1, an+2-4an+1+4a,=0 (n=1, 2, 3, ……) を満たす数列 {a} を考える。 (1) b=an+1-2an とおくとき, 数列 {b,}の一般項を求めよ。 an (2) Cn とおくとき,数列 {c}の一般項を求めよ。 2" [類 (3) 数列 {a} の一般項を求めよ。

数Bの数列で、隣接３項間の漸化式の問題です。 (１)の下線部は分かるのですが、(２)の下線部になる計算のしかたが分かりません。 変形すると、の後の途中式を教えて頂きたいです🙇‍♀️

296 次の条件によって定められる数列 {am}の一般項を求めよ。 2 (1) a=1, az=2, an+2+5amn+1-6an=0 (2) a=0, a2=1, 3an+2+an+1-4an=0

(2)の問題は特性方程式の解が1と2であることを利用して、写真のように解くのは大丈夫ですか？ちょっと雑ですみません。

530 第8章 数 (1) an+2-2am+1-15a,=0 ……① が an+2-ean+1=B(an+1- aan)……2と変形で *ル-1 bn=dn+1-an とおくと,数列{bn}は数列 {an} の (1より =0 列 Unt 3 漸化式と数学的帰納法 Check 531 例 題 300 隣接3項間の漸化式 (1) 2-3an+1+2an 0より、 an+2-an+i=2(an+1-an) ..の 次のように定義される数列 {an}の一般項 an を求めよ。 (1) a=1, az=2, an+2-2an+1-15am=0 (2) a=3, az=5, an+2-3am+1+2an=0 (x-1)(x-2)3D0 より、x=1, 2 階差数列であり,②より, a=1, B=2 で考える。第8章 bn+1=2 b。 つまり,数列(bn} は、 初項 b=a2-a=5-3=2 公比 2 考え方(A) 特性方程式の解 a, BがαキB となる場合(p.529)である の等比数列であるから, bn=2-27-1 きたとする。 2より, antaー(a+B)an+1taBa,=0 bn=2" とできるが, [a=-3 {8-5 これより, a+8=2, aB=-15 だから, | anta+3an+i=5(an+1+3am) lamtz-5am+1=ー3(an+1-5am) または Q=5 したがって, n2のとき, -1 B=-3 こb。を計算するので an=a」+E。 =1 k=1 bn=2-2"-1 のままの方 が間違いが少なくなる。 {an} の階差数列{ba n22 のとき よって,2より, 1-1 =3+ 22-2*-1 これより,一般項 anを求めればよい。 (2)(A) aキ8 において, とくに α=1 となる特別な場合である。 つまり, k=1 2(2"-1-1) ag+2-3am+1+2an=0 は, an+2-Cn+1=8(an+1-an) 数列(a+-)は(a)の階差数列である。 =3+ {a)の階差数列 2-1 =3+2(2"-1-1) =2"+1 -1 an=a+ 2b。 {an+1-a) となり、 (1)と同様に解くこともできるが,ここでは階差数列の 考え方を使って解いてみよう。 =1 n=1 のとき, a=2'+1=3 となり成り立つ。 m n=1 のときを確認 よって, an=2"+1 ュ-15am=0 Tan+3a のより x-2x-15=0 w 解答 (aneit3an) (x+3。 E Rocus