重要 例題 158 逆関数と積分の等式
ex
(1)f(x)= y=f(x)の逆関数y=g(x) を求めよ。
ex+1
(2)(1) f(x),g(x)に対し,次の等式が成り立つことを示せ。
00000
Sof(x)dx+S70g(x)dx=bf(b)-af(a)
f(a)
[東北大 ]
/P.262 基本事項 1, 基本 10
指針 (1) 関数y=f(x)の逆関数を求めるには,y=f(x) をxについて解き, xとyを交換
する。 (p.25 基本例題 10 参照。)
(2)(1)の結果を直接左辺に代入してもよいが,逆関数の性質 y=g(x)=x=g(y)
を利用。 すなわち y=g(x)⇔x=f(y) に注目して, 置換積分法により,左辺の第
(f(b)
2項 Sing(x)dx を変形することを考える。
(1)
y=
ex+1
解答
①から
(ex+1)y=ex
ゆえに
①の値域は 0<y < 1
(+)
(1-y)ex=y xについて解く。
(1+x)
(x)=(xx)
・②+y
まず, 値域を調べておく。
②から
ex = 1-y
y
よって x=log
ex=A⇔x=logA
1-y
as (1)
求める逆関数は,xとy を入れ替えてg(x)=log
XC
定義域は 0<x<1
1-x
f (b)
(2)ISg(x)dx とする。
YA
f(b)
T
1
f(x) は g(x) の逆関数であるから, y=g(x) より
ゆえに
x=f(y)
f(a)
12
S
また
dx=f'(y)dy
g(f(a))=a,g(f(b))=b
0
a
b
x
(1
x f(a) →f(b)
xとyの対応は右のようになる。 y
a → b
よって
ゆえに
参考 (2) の結果は,f(x)=
f(x) It is am
v=fys (y)dy=[ys (3)]-fs(v)dy
a
=bf(b)-af(a)-Sof(x)dx
Sof(x)dx+S70g(x)dx=bf(b)-af(a)
ex
20306-10 15
ex+1でなくても,一般に, 関数f(x)の逆関数が存在して
s=Sof(x)dx,
TSg(x)dx
(2) の等式の左辺の積分
は、上の図のように表さ
れる。 (0<a<bのとき)
