と確率
00
本引
は何
重要 例題 41
基本 37
3,4,5,6,7,8 から3つの異なる数を取り出し, 取り出した順にa, b, cとす
る。このとき,a, b, c を係数とする2次方程式 ax2+bx+c=0が実数解をもつ
確率を求めよ。
指針> この問題では,数学Ⅰで学ぶ以下のことを利用する。
解答
2次方程式 ax2+bx+c=0 の実数解の個数と判別式 D=6-4ac の符号の関係
D>0 のとき,異なる2つの実数解をもつ
D≧0 のとき,
D=0 のとき, ただ1つの実数解 (重解)をもつ実数解をもつ
D<0 のとき, 実数解をもたない
ゆえに、D=62-4ac≧0 を満たす組 (a, b, c) が何通りあるか,ということがカギとなる。
この場合の数を「a,b,cは3以上8以下の整数」,「a≠bかつbc かつ cキα」という条
件を活かして,もれなく, 重複なく 数え上げる。
できる2次方程式の総数は 6P3=6・5・4=120 (通り)
2次方程式 ax2+bx+c=0 の判別式をDとすると,実数解を
もつための条件は D=62-4ac≧0
......
①
3≦a≦8,3≦b≦ 8,3≦c≦8であり, a≠c であるから
①より
ゆえに
b2≧4ac≧4・3・4
62≥48
よって
組 (a, b, c) の総数。
6=7.87
(*)のとりうる最小の値に
注目する。
49
b=7のとき. ①から 724ac すなわち ac≦ -=12.25
4
この不等式を満たす αc の組は (a, c)=(3, 4), (4, 3)
b=8 のとき, ①から 824ac すなわち ac≦16
この不等式を満たす acの組は
<72=49>48 であるから
b=7, 8
>
(a,c)=(3,4),(3,5) (4,3), (5,3)
2+4_1
でN=120,
N
したがって、求める確率は
646
120 20
a=2+4=6
(3)
A
(
(U
