基本例題25 垂心の位置ベクトル
OA=a, OB=とするとき, OHをà, 5を用いて表せ。
「平面上に △OAB があり, OA=5, OB=6, AB=7 とする。また, △OAB の垂
指針> 三角形の垂心とは, 三角形の各頂点から対辺またはその延長に下ろした垂線の交点であり,
心をHとする。
1) coS ZAOBを求めよ。
p.400 基本事項5
重要28
OABの垂心Hに対して, OAIBH, OB」AH, ABIOH
が成り立つ。
こで、OAIBH といった図形の条件をベクトルの条件に
吉して解く。(2)では OH=sa+tbとし, OA·BH=0,
OB:AH=0 の2つの条件から, s, tの値を求める。
H
A
B
解答
CoS ZAOB=
5°+6°-72
(1) 余弦定理から
12
1
参考 |ABf=I5-ā
=-26-6+2
AB|=7, |1=5, 万=6で
あるから 7=6-25·ā+5°
よって -5=6
2.5-6
60
5
-5=|a||||cos ZAOB=5·6
(2)(1) から
AOABは直角三角形でないから, 垂心Hは2点A, Bと
一致することはない。
Hは垂心であるから
OH=sa+tb (s, もは実数) とする。
7/0ALBHより OA·BH30 である
5
OAIBH, OBIAH
0
○ 垂直→(内積) %3D0
から
a(sa+(t-1)}=0
ABH=OH-OB
H
sāf+(t-1)ā-5=0
25s+6(t-1)=0
よって
ゆえに
=5, a-5=6
A
B
すなわち 25s+6t=6
「また,OBIAHより OB·AH=0 であるから
の
① 垂直→(内積)3D0
あ((s-1)ā+tb}=0
(s-1)a-5+t5=0
6(s-1)+36t=0 すなわち s+6t=1
AH=OH-OA
よって
ゆえに
a-5=6, 6=6
19
t=
144
5
0, 2から
S=
24°
AO-2 から
24s=5
5
24
19
したがって
OH=a+
144
