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46 軌跡
放物線y=x2-2x+1と直線y=mx について,次の問いに
答えよ.
(1) 上の放物線と直線が異なる2点P, Qで変わるための
囲を求めよ.
(2) 線分PQの中点の座標をm で表せ。
(3) が (1)で求めた範囲を動くとき, 点Mの軌跡を求めよ.
(1) 放物線と直線の位置関係は,連立させてyを消去した2次方程
式の判別式を考えます。
異なる2点とかいてあるので, 判別式≧0ではありません.
(2) (1) 2次方程式の2解がPとQのx座標ですが, m を含んだ式になるの
2解をα, βとおいて, 解と係数の関係を利用した方が計算がラクです .
(3) (1)において, m に範囲がついている点に注意します。
( 45 III)
精講
解答
y=x2-2x+1①, y=mx②
(1) ①②より,yを消去して、²-(m+2)x+1=0 ...... ③ mia)
③は異なる2つの実数解をもつので、
判別式をDとすると, D>0
よってD=(m+2)^4>0 ... m² +4m>0
:: m(m+4)>0
m<-4, 0<m
(2) ③2解をαβとすれば,
P(a,ma),Q(BmB) とおける .
このとき, M(x,y) とすれば,
1=9+8₁ _m(a+ß)
2 y=
2
ここで, 解と係数の関係より
α+β=m+2 だから
-=mx
YA
0
May=mx
mの範
y=x2-2x+1
P
M
α 1
B
x
a+B
+8=m+2
2
... Mm+2m²+2m
2
(3) ⑤ より m=2x-2
④ に代入して, y=x(2x-2)
ここで,(1)より,m<-4,0<m だから,
参考
演習問題 46
m+2 m+2
2
ポイント
2x-2-4, 0<2x-2
すなわち, x<-1, 1<x
以上のことより, 求める軌跡は放物線の一部で,
y=2x²-2x(x<-1, 1<x)
いつでもに範囲がつくわけではありません.
たとえば, 与えられた放物線y=x²-2x-1 であったら,
判別式= (m+2)² +4>0 となり,mに範囲はつきません.
すなわち, 軌跡のにも範囲がつかないということです.
2
.
75
軌跡が放物線のとき, 範囲は につければよい
につける必要はない
放物線y=x²-2tz+/12t+4t-4.① がある.
(1) ① が放物線y=-x2+3.x-2 と共有点をもつようなもの範目
を求めよ.
(2) tが(1)で求めた範囲を動くとき, ① の頂点のえがく軌跡を求
