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例題 206 極値をもたない条件
関数 f(x)=2x+kx2+kx+1 について,次の条件を満たすようにんの
値の範囲、またはkの値を定めよ.
(1) 極値をもたない
(2) x=1で極小値をもつ
考え方 (1) 関数 y=f(x) が次のようになればよい.
極値をもたない (単調増加 (減少) する)
つねにf'(x) ≧0 またはつねにf'(x) ≧0
つまり,f'(a) = 0 を満たす x=α が存在するが,
x=α の前後の f(x) の符号は正 (負) で変化しない.
または,f'(a)=0 を満たす x =α が存在せず,
つねにf'(x)>0 (f'(x)<0)
解答 f(x)=2x3+kx2+kx+1 より,
f'(x)=0 の判別式をDとすると,
(1) f'(x) の x 2の係数が正より, 極値をもたないのは,
つねにf'(x) ≧0 のとき, つまり, D≦0 のときであ
る.
よって, (k-6)≧0を解いて,
0≤k≤6
(2) y=f(x) x=1で極小値をもつのは、 f'(1)=0
となり,さらに, x=1の前後で、
x<1のとき f'(x)<0 かつ x>1 のとき f'(x)>0
となるときである.
①より, f'(1)=6.1°+2k1+k=0
(千葉工業大)
8
xC
a
y' +0
y
7
f'(x)=6x2+2kx+k
1/2=b-ac
1241=k-k=k(k-6)
y'
y
A
・①
D=0
Vo
a
D<0
4
f'(x)=0が重解をも
つか実数解をもたない
場合,f'(x)≧0である
から,
www
XC
7
符号の変化
なし
Co