Question

人参さん

数IIの微分です。
考え方のところで言っている意味は理解出来ているつもりなのですが、解答では四角で囲った不等式が省かれたように感じます。増減表が負のみになるパターンでは間違った答えが出てしまうのでしょうか？また、(１)の解答にある、｢ｘ２の係数が正より・・・｣の文はどういうことですか？

Check
例題 206 極値をもたない条件
関数 f(x)=2x+kx2+kx+1 について,次の条件を満たすようにんの
値の範囲、またはkの値を定めよ.
(1) 極値をもたない
(2) x=1で極小値をもつ
考え方 (1) 関数 y=f(x) が次のようになればよい.
極値をもたない (単調増加 (減少) する)
つねにf'(x) ≧0 またはつねにf'(x) ≧0
つまり,f'(a) = 0 を満たす x=α が存在するが,
x=α の前後の f(x) の符号は正 (負) で変化しない.
または,f'(a)=0 を満たす x =α が存在せず,
つねにf'(x)>0 (f'(x)<0)
解答 f(x)=2x3+kx2+kx+1 より,
f'(x)=0 の判別式をDとすると,
(1) f'(x) の x 2の係数が正より, 極値をもたないのは,
つねにf'(x) ≧0 のとき, つまり, D≦0 のときであ
る.
よって, (k-6)≧0を解いて,
0≤k≤6
(2) y=f(x) x=1で極小値をもつのは、 f'(1)=0
となり,さらに, x=1の前後で、
x<1のとき f'(x)<0 かつ x>1 のとき f'(x)>0
となるときである.
①より, f'(1)=6.1°+2k1+k=0
(千葉工業大)
8
xC
a
y' +0
y
7
f'(x)=6x2+2kx+k
1/2=b-ac
1241=k-k=k(k-6)
y'
y
A
・①
D=0
Vo
a
D<0
4
f'(x)=0が重解をも
つか実数解をもたない
場合,f'(x)≧0である
から,
www
XC
7
符号の変化
なし
Co

数ii 微分法

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

ふぃる

先に｢ｘ²の係数が正より・・・｣に関してですが、
「」からy＝f'(x)のグラフは下に凸なので常にf'(x)≧0になる可能性はありますが、常にf'(x)≦0になることはない事が分かります。
このことから最初の質問のf'(x)≦0に関してですが、f'(x)≦0になることはないのでf'(x)≧0だけ考えれば良い事になります。理論的に考えると、
f'(x)≧0となるのは0≦k≦6、f'(x)≦0となるkは存在しないという事なので、これらを「または」で結んでもkの範囲は0≦k≦6です。

人参さん

なるほど！理解しました！！
丁寧な回答、ありがとうございました🙇‍♀️