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x=19k+12,y=24k+15
(kは整数)
0x100,0y≦100 を満たすのは,
k=0, 1,2,3のときであるから, 求める x, y
の組は
(x, y)=(12, 15), (31, 39), (50, 63), (69, 87)
[参考 1 24 19 に互除法を用いると
24=19.1+5
19=5.3+4
5=4･1+1
よって
移項すると 5=24-19・1
移項すると 4=19-5.3
移項すると 15-4･1
1=5-4・1=5-(19−5・3)・1
=5.4-19・1
=(24-19.1)・4-19.1
=24.4-19.5
したがって, 24x-19y=1の整数解の1つは
x=4, y=5である。
参考 2 a=24, b=19 とおく。 参考 1 の互除法の
計算から
5=24-19.1より 5=a-b1=a-b
4=19-5.3より
1=5-4･1より
4=b-(a-b).3=-3a+4b
1=(a-b)-(3a+4b) ・1
=4a-5b
よって, 4a-56=1 より 24.4-19.5=1
したがって, 24x-19y=1の整数解の1つは
x=4, y=5である。
295 ■■指針■■
nは整数x,y,zを用いて,
n=5x+2,n=7y+4, n=11z + 8
と3通りに表せる。
この3つの式を連立方程式として整数解を求め
る。
nは整数x,y,zを用いて,次のように表され
る。
① n=7y+4
③
n=5x+2
n=11z+8
① ② から 5x+2=7y+4
すなわち
5x-7y=2
(4)
x=6,y=4は, ④ の整数解の1つであるから
5.6-7.4=2
(2)
④ ⑤ から 5(x-6)-7(y-4)= 0
5と7は互いに素であるから, ⑥ を満たす整数x
は,次のように表される。
x-67k すなわち x = 7k+6 (kは整数)
このとき n=5x+2=5(7k+6) + 2 = 35k +32
③から
35k+32=11z + 8
すなわち
35k-11z=-24
7
k=-1, z=-1は, ⑦ の整数解の1つであるか
35(-1)-11(-1)=-24
ら
⑦ ⑧ から 35(k+1)-11(z + 1 ) = 0
3511は互いに素であるから、⑨を満たす整
数kは,次のように表される。
k+1=11ℓ すなわち k=117-1 (1は整数)
このとき
n=35k+32=35(111-1)+32=3851-3
よって, 自然数nは1=1のとき最小となるから,
求める n は
n=385・1-3=382
別解 nは整数x,y,z を用いて,次のように表
される。
n=5x+2, n=7y+4, n=11z+8
よって n+3=5x+5=5(x+1)
n+3=7y+7=7(y+1)
n+3=11z+11=11 (z +1)
したがって, n +3 は 5, 7, 11 の公倍数である。
求めるnは, n +35, 7, 11 の最小公倍数の
ときであるから
n=5.7.11-3=382
296 (1) x<y<²であるから
2xyz=x+3y+4z<z+3z+4z=8z
よって
2xyz <8z
両辺を正の数 2² で割ると
xy<4
これを満たす x<y である自然数x,yは
(x,y)=(1,2),(1,3)
(x,y)=(1,2)のとき, 与えられた等式は
2・1・2z=1+3・2 +4z
これを満たす はない。
(x,y)=(1,3)のとき, 与えられた等式は
2・1・3z=1+3・3 + 4z
これを解くと
したがって
(2) 1≦xy≦z であるから
z=5 (y<z を満たす)
2
(x,y,z)=(1,3,5)
y
1 1
1=-+- +
x y 2
x≤3
よって
したがって
xは自然数であるから
[1] x=1のとき
y 2
これを満たす自然数 y, zはない。
[2]x=2のとき 141+12=1/2
y
①から
よって
y≤4
yは自然数で, 2=xy であるから
y = 2,3,4
y=2のとき, ② から
1
+ + =
x
x
x
1 1
x=1, 2, 3
+ =0
1 1 2
1 1
+ ·s. +
2 y 2 y y y
1/2=0
3
x
