Question

あや

演習β 33回 2
(2)何をしているのか全く分かりません。詳しく教えてくださいm(_ _)m

2 [2001 横浜国立大]
自然数nに対して, <nに最も近い整数をam とする.
(1) 7, 450 を求めよ.
(2) α=100となる自然数n nの個数を求めよ.
2001
(3) Zak の値を求めよ.
k=1
解答
(1) √7 = 2.6.... から α7=3
V50 =5√2=5×1.41 = 7.0...... から a50=7
(2) an=m(mは整数)とすると, √nは整数または無理数であるから
1
1 <√√n <m+ ²/2/
*-==
m
2
1
ゆ
D*= m² ² + + <<n<m² + m + 1/{
.....
m, nは整数であるから
m²-m+1≤n≤m² + m
よって, an=mとなるnの個数は
m² +m-(m²-m) = 2m
したがって, an = 100 となるnは200個ある。
(3) √2001 = 44.7.....
44.5=1980.25
よって, an=45 (n≦2001) となるnはn=1981, 1982, 2001の21個ある.
2001
44
ゆえに ak】ix2i +45×21
i=1
k=1
=1/2×
=58740 +945=59685
-X44 × 45 × 89+45 × 21

数列

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

甘味

根号の形は、何かしらの隣合う二整数を用いて挟むことができます。例えば1<√2<2、2≦√4<3、2<√5<3のように。
nを決定するために、任意の整数mを用いてm≦√n<m+1と表すことができます。
しかし、この不等式評価はまだ甘いです。何故ならば、√nに最も近い整数がmとして定義されているためです。例えば1<√2<2と表せる√2ですが、√2に近い整数は1か2のどちらかと聞かれれば、それは小数単位で不等式評価をしなければならないことになります。√2=1.414…とある程度の値がわかれば、1と2の半分1.5より小さいことより√2に近い整数は1だとわかるのでよいですが、√nの値なんてわかりっこありません。よって、更に不等式評価を厳しくして、m-1/2<√n<m+1/2で挟みます。ルートを外すために各辺二乗して、(m-1/2)²<n<(m+1/2)²とします。解答では整数であるため整理してm²-m+1とm²+mで等号を考える形に直していますが、別に必要ないと思います。
m²-m+1/4<n<m²+m+1/4となったので、この範囲に含まれるnの数は、m²+m+1/4-(m²-m+1/4)=2m個です。

甘味

整数問題でよくある形ですが、ガウス記号やルート、もしくはその両方が含まれた数列を考えるときには、任意の整数で挟んで不等式評価を行うと上手くいくことが多いです。
もっと難しい問題になるとそこから郡数列を作って和を求めさせたりする問題もあります。

あや

ありがとうございます！！