5 第3章 図形と方程式
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例 題 82
交点を通る直線群
*2
2直線 2x-3y+5=0 …D, x+2y-6=0
の交点を通る直のうち,次の条件を満たす直線の方程式を求めよ。
(1) 点(-1, 2)を通る
(3) 直線3と垂直
3 と平行
(2) 直線 x+3y+7=0
2直線0, 2の交点の座標を直接求める方法も考えられるが,
計算が大変である。ここでは, 例題 81(p.155) の方法を用いる。
平行条件,垂直条件については, p.148 参照.
考え方
0
解答 実数んを用いて,
(2x-3y+5)+k(x+2y-6)=0
とおくと,のは2直線①, ②の交点を通る直線を表す。
(1) 直線のが点(-1, 2) を通るので,
2.(-1)-3-2+5+k(-1+2·2-6)=0 より,
のに代入して、
よって、
(2) のを整理すると,(2+k)x+(-3+2k)y+(5-6k)=0
3と5が平行なので,(2+k)·3-(-3+2k)·1=0 より,
x=-1, y=2
k=-1
を4に代入
(2x-3y+5)+(-1)·(x+2y-6)=0
x, yについて整
理する。
x-5y+11=0
平行条件
k=-9
ab'-ba'=0
よって,⑤に代入して,
(3) 3と5が垂直なので,(2+k)·1+(-3+2k)-3=0 より,k=1
よって,⑤に代入して,
7x+21y-59=0
垂直条件
3x-y-1=0
aa'+bb'=0
Focus
異なる2直線 ax+ by+c=0, a'x+b'y+c'=0 が交わるとき
実数kを用いて, (ax+by+c)+k(a'x+b'y+c')=0
とおくと,(*) は2直線の交点を通る直線を表す
(ただし,(*)は直線 a'x+6'y+c'=0 は表さない)
注》2直線の交点は,①, ②より,
点(号,号)
8
17
7
17
-2
7
ソー2=
8
(1) 2直線の交点と点(-1, 2) を通るので,
7+1
(2) ③の傾きは一より、 求める直線の傾きも一なので, yー号=--)
(3) 求める直線の傾きは3であるから, yーー=3(x-号)
17
ソー
7
3
3
17
7
