差数列と等比数列
分母とする既約分数の総和を求めよ、
有理数のうち,整数にならないものの総和を求めよ.
これらの和を求めて,そのうち既約分数にならないもの (整数) を引くとよい.
具体的な数で考えてみる.たとえば, 2と4の間(2以上4以下)にあって, 5を分母
265既約分数の和
題
nは正の整数で m<nとする。mとnの間にあって, p
は素数。
(同志社大)
とする数は、
(=2),
12
5
13
5
10
14
15
5
10
(=3),
16
5
17
18
19
20
(=4)
となり,初項2, 公差士の等差数列になって
5'5'5'5'5
つまり、2, 2+, 2+2。
5
m以上n以下でかを分母とする数は、
mp+1 mp+2
p? p
まずはすべての分数の
mp(=m),
np-1
np(=n)
和を求める。
p?p
1
っまり,初項 m, 公差一の等差数列となる。
公差一の等差数列
p
項数をえとすると,
通数nゆ-mp+1,末項nであるから, その和 S, は。
n=m+(&-1)- より、
S=;(np-mp+1)(m+n) ①
また,このうち,既約分数でない数は、
k=(n-m)b+1 だから、
|S-(nーm)p+1}
m, m+1, m+2,
つまり,初項 m, 公差1の等差奴列となる。
項数 n-m+1, 末項nであるから,その和 Szは,
×(m+n)
S-=(nーm+1)(m+n)
よって, 求める和をSとすると, ①, ②より,
としてもよい。
分母が素数であるから,
既約分数でないものは
| mからnまでの整数に
なる。
S=-(npーmp+1)(m+n)- (nーm+1)(m+n)
項数 n-(m-1)
S.から Saを引けば、
既約分数の総和となる。
=(m+n)(np-mp+1-n+m-1)
S=S.-S2
=(m+n)(n-m)(カ-1)
Jocus
具体的な数で調べて規則性をみつける
素数のを分母とする真分数の和は,
p-1)p
1.2
pp
カ-1_1+2+…+(カー1)
れは自然数で m<nとする. mとnの間にあって5を分母とするすべての
有理数のうち,整数にならないものの総和を求めよ。
(富山医科薬科大)
