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142 第2章 2次関数
Think
例題69
解の存在範囲(1)
2次方程式 -2ax+3a=0の異なる2つの実数解が,ともに2より
(東京工科大・改)
大きくなるような定数αの値の範囲を求めよ.
[考え方] このような2次方程式の解の存在範囲を求めるときは,まず,
y=f(x)=x-2ax+3a
とおいて考える。
2次方程式f(x)=0 の実数解は, 2次関数y=f(x)
のグラフとx軸との共有点のx座標である. このこ
とに着目して 「異なる2つの実数解が, ともに2よ
り大きくなる」場合のグラフはどうなるかを考える。
【解答 y=f(x)=x-2ax+3a とおくと,
f(x)=x²-2ax+3a
=(x-a)-a²+3a
より, y=f(x)のグラフは,下に凸の放物線で
軸が直線 x=α, 頂点が点(α, -a²+3a)
となる.
f(x)=0 の異なる2つの実数解
が､ともに2より大きくなるのは, (2,f(2))
y=f(x)のグラフが右の図のように
なるときである.
よって, 求める条件は,
(1) (頂点のy座標) < 0
(ii) 軸が直線x=2 より右側
(iii) ƒ(2) >0
である.
(i) -a²+3a<0
a²-3a>0
a(a-3)>0
より
(ii) a>2
(iii) f(2)=4-4a+3a>0
a<0, 3<a
より,
a<4
よって, ①〜③ より
3<a<4
...... ③
\x=2x=a
(1)
[21]
(2)
a
(3)
(1)
2 3 4
(2, S(2))
x
******
√|x=2|x=a
2
y=f(x) を平方完成
する。
a
頂点, 軸, f(2) の値
に着目する.
(i) は, 判別式 D>0
より、
D
4
=(-a)²-3a
=a²-3a>0
としてもよい。
数直線上で共通部分
を確かめる.
解の存在範囲の問題 (異なる2つの実数解がともにか
より大きい)は、頂点(判別式), 軸, f(p) の値で考える
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