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数学 A415
EX
設
@100
2
x,yを正の整数とする。
(1)
2
+1
xy
1
2024
4 を満たす組 (x, y) をすべて求めよ。 4/7
(2)3以上の素数とする。
(1) +
x
(x, y) を求めよ。
x
2+2
y
Þ
を満たす組 (x, y) のうち, x+y を最小にする
[類 名古屋大 ]
1
1
から
y
4
8y+4x=xy
ゆえに
よって
xy-4x-8y=0
(x-8)(y-4)=32
①
xyは正の整数であるから, x-8, y-4 は整数である。
また,x≧1, y≧1であるから
ゆえに、 ①から
x-8≧-7, y-4≧-3
よって
(x-8, y-4)=(1, 32), (2, 16), (4, 8), (8, 4),
(16, 2), (32, 1)
2
1
1
(2) +
x
y p
から 2py+px=xy
ゆえに
(x, y)=(9, 36), (10, 20), (12, 12), (16, 8),
(24, 6), (40, 5)
←両辺に 4xy を掛ける。
←xy+ax+by
for
=(x+b)(y+α) -ab
(D)
←x>0, y>0 としても
よい。
←練習143の検討のよう
な表をかいてもよい。
←両辺に pxy を掛ける。
xy-px-2py=0
よって (x-2p)(y-p)=2p² ①
x, y は正の整数, pは素数であるから,x-2py は整数で
ある。また,x≧1, y≧1であるから
x-2p≧1-2py-p-p
......
(2)
3以上の素数であるから, 22 の正の約数は
1, 2, p, 2p, p², 2p²
←素数の正の約数は
とだけである。
ゆえに、 ①,②を満たす整数x-2p, y-pの組と,そのときのレー
x, y, x+yの値は,次の表のようになる。
x-2p
1
2
p2p
p²
2p²
書き出
2p2
p²
2p
p
2
1
地道
XC
2p+1
2p+2
3p 4p
p²+2p
2p²+2p
計算
y
2p²+p
p²+p
3p 2p
p+2
p+1
2p²+3p+1
x+y 2p2+3p+1 p²+3p+2 6p 6p p²+3p+2
ここで, p≧3であるからしぼりこみ
よって
(2p+3p+1)-(p²+3p+2)= p²-1>0
(p²+3p+2)-6p=p²−3p+2=(p−1)(p-2)>0
2p°+3p+1>p+3p+2>6p
(x, y)=(3p, 3p), (4p, 2p)
表より, x+y=pのとき
すなわち, x+yを最小にする (x, y) は
(x, y)=(3p, 3p), (4p, 2p)
y-pがともに負となることはない。
とすると
← に適当な値を代
て,大小の目安をつ
とよい。 例えば,p=
代入すると
|2p2+3p+1=28,
p2+3p+2=20,6
よって, 2p2+3p+
>p²+3p+2>6p
ではないかと予想
3から
