積分法の範囲の質問です。 赤線部のようにわかるのはなぜですか？🙇🏻‍♀️

167 関数f(x)= x の定積分を利用して、 次の不等式を証明せよ。 1 1 logn > 2 3 4 + 十 .......+ 1 n ただし, nは2以上の自然数 自然数kに対して,k≦x≦k+1 のとき f(x)≧f(k+1) である。 常にはf(x)=f(k+1) でないから、 が成り立つ。 見え方 1x k+1 kk+1 証明 自然数んに対して, k≦x≦k+1- YA のとき 1 x 1 M k+1 1 1 常には = k+1 でないから x Sk+11/1 dx > Ok すなわち S+ x (x+1 dx > k +1 + xC k=1, 2, 3, ......, n-1 として, □の面積 Ck+1 1 -dx k+1 |辺々を加えると 第5章 ケミ 0 1 2 3 4x 13 + 14 S² dx + S ³ d x + S ³ dx 1 X ここで J2 xC 3 x + n +S" dr dx 1 -> 2 + n-1 X =|10g|x|=10gn trill - Sdx = [log|\x]" 左辺 = = 1 よって logn > 1 1 +· + 2 3 logn 1 n 1 ++ n 終

積分法の質問です。赤線部のように分かるのはなぜですか？🙇🏻‍♀️

10 5 応用 例題a>0,6> 8 C いろいろな式で表される曲線と面積 12 a0b>0 とする。楕円+1=1で囲まれた部分の面積 Sは, Srab であることを示せ。 考え方 この楕円はx軸に関して対称である。 y≧0 のとき, 方程式をyにつ いて解き, y≧0の部分の面積を2倍すればよい。 解答 求める面積S は, 右の図の斜線部 YA 分の面積を2倍したものに等しい。 b y0 のとき, 方程式をyについ て解くと b y= √a² = x² -a -b ax b 26 *___S=2√ √ a²x² dx = 2b Sª √a²x² dx -a a a -a ここで, Saxedxは,半径αの円の面積の半分である。 26 1 したがって S=- 2nd = rab a

関数f(t)=∫(1→2)|x-t|dxについて、f(t)をtの式で表す問題で、場合分けの仕方がt≦1、1<t<2、2≦tだったのですが、なぜこのような場合分けになるのかが分からないので教えて欲しいです。

次のしたの問題で青い所からの意向がよくわからないのですがどなたか解説お願いします🙇‍♂️

[1] 次の定積分を求めよ。 ただし, m, n を正の整数とする。 (1) S sinmx sinnx dx π S.” (2) " xsin mx dx π [2] I = { (asinx+bsin2x+csin3x-x)dx とおく。I を最小にするような 0 実数a, b, c の値と, I の最小値を求めよ。 (九州大)

この問題について質問です グラフの形について疑問があります｡ y=0でのグラフの頂点は尖り具合が急ですが，y=-π，πは頂点の尖り具合が緩いのは何でですか？

基本 例題 108 関数の に注目 | 関数 y=4cosx+cos 2x (-2π≦x≦2π) のグラフの概形をかけ。 0000 基本107 109.11 指針 関数のグラフをかく問題では, 前ページの基本例題 107 同様 定義域, 増減と極 凹凸と変曲点, 座標軸との共有点, 漸近線 などを調べる必要があるが、特に、 性に注目すると,増減や凹凸を調べる範囲を絞ることもできる。 f(x)=f(x) が成り立つ (偶関数) f(x)=-f(x)が成り立つ (奇関数) グラフは軸対称 グラフは原点対称 (数学II) 20≦x≦2mの範囲で増減 凹凸を調べて表にまとめ, 0≦x≦2 におけるグラフを この問題の関数は偶関数であり, y'= 0, y" =0の解の数がやや多くなるから、 に関して対称に折り返したものを利用する。 y=f(x) とすると,f(-x)=f(x) であるから, グラフはycos (一)=cos 解答 軸に関して対称である。 y=-4sinx-2sin2x=-4sinx-2・2sinxcosx =-4sinx(cosx+1) y" =-4cosx-4cos2x=-4{cosx+(2cos2x-1)} =−4(cosx+1)(2cosx−1) 0<x<2πにおいて, y = 0 となるxの値は, sinx = 0 また は cosx+1=0 から x=π y" = 0 となるxの値は, cosx+1=0または2cosx-1=0 12倍角の公式。 y=-4 sinx-2sin2x を微分。 (*)の式で, cosx+1≧0に注意。 sinx, 2cosx-1の符号 に注目。 π 5 から x= π, π 3 よって, 0≦x≦2 におけるyの増減, 凹凸は,次の表のよ うになる。(*) π x 0 π 3 y' --- 0 5 2 20 (0- y" + 20 e 32 -3 ↑ 032 5 ゆえに、グラフの対称性により, 求めるグラフは図 π 参考 上の例題の関数について ++ 53 + TT ... y +dx)------- 15 TC 3 32 π π 2π 3 '5 π 253 π 3

4の問題がわかりません 答えはx＝3になるのですが答えが合いません　どこが違うのか教えてください！！ほんとにここでずっと止まっててもう泣きそうです お願いします🙇

42か肺の所持金は30000円 先月は2か月前より割減り 今月は先月より2x割減 8400円だった。その値は? 28 50. 25 300001-10 x Dx 100 20 5400 3000 100 100% + 30000~ 100 10x x A 10 20 ( 100 21 2 (1) 125 Am! (50 - - 2) 14 ―x=14-50 -36 x=6 x=±16

230の問題で左下の青線からの計算がよく分からないのですがどなたか解説お願いします🙇‍♂️

- ½³ a (1-2cos4x+cos24x)dx 1* (1-2cos4x+ 1+cos8x 2 dx 半角の公式をくり返し用 いる。 1 =* 3 1 4 2 -2cos4x+ cos8x)dx 2 3 1 2 2 - (*-sin4x+sin8x]** 1 16 3 16 π (2) sin4xsin6x dx = - 1 2 Jo sin 10x-1/2 * {cos 10x-cos(-2x)}dx sinasinẞ = - {cos(a + B) sin2x = 0 (3) L cos20 do = I 2 2 cos20-1 -do cos20 1 -(2-) 19 = -[20-1ano] = 44 =(1/2)-(+1)-1/2-13-1 230 次の定積分を求めよ。 (1) (1) L√x+1dx - cos(a-B)} 2倍角の公式 cos20 2cos20-1 (2) S" |√1+cos2x = √1— cos2x |dx √x+1dx=√x-1dx+√x+1dx = = -2 -L'(x-1)x+(x+1)* dx (-x- − 1)} } ] + [ ³ ³ (x + 1) } ] ₁₂ (2) √1+cos2x = 6 3 16 + 3 √1-cos2x dx [ \V2cos* x − 2sin® x \da 42 | | ||cosx| —sinx|da - V2 ( * |cosx = sinx | da + -COSA | sinx|dx $ =√ √ 4z ( sinx – cosx|da + S sinx−(−cosx)\da グラフの対称性より, 求める定積分は y y=sinx I 4√2 √2 f** (cosx-sinx)dx =4V 2sinx+cosx] = 8-4√2 231 次の定積分を求めよ。 y= Cosx y-cost (1)dx sin20 (2) de (3) esin 1+ cos (1) e* =t とおくと, x=logt となり dx 1 = x 0-2 dt t t 1- e² xtの対応は右のようになるから e2x Lodde ex +1 dx = 12 1 t+1 t dt == (1) == t+1 dt = t-log|t+1| e²+1 =e-1-log- 2 (2) S sin 20 do = 1+cose · £*· 42sin@cose do 1+cose 0 0-> 4 dt ここで, cost とおくと -sin0 = 0 との対応は右のようになるから √2 do t 1→ 22 2 |x+1] = (-x-1 (x-1) x+1 (x-1) (与式) 2t 1+t (-1)dt = 2 = 2 √ √ 1 + 1 de dt √21+t =2[ = - 2 √ √ (1-111) de t-log|1+t 2+√2 =2-√2+2log- 4 (3) esinx sin2x = esin³x. 2sinxcosx πT x 0-> dt 4 2cos2 x 2sin x 1+ cos2x 1-cos2x ここで, sinx=t とおくと 2sinxcosx xtの対応は右のようになるから dx 1 t 0 → 2 0≦x≦のとき sinx=0 |cosx| COSX ≤x≤ cost (SIS) (4x) = √* -L² esin x 2sinxcosx dx } = [² e' dt = [e'] = √e-1

この問題の(3)でdx/dy=coshyになるところまでは分かるんですが、coshy=√1+x²になる意味がまじで分かりません。どなたか教えてください！

問題3-5 双曲線関数 exte ex-e cosh x := sinhx:= (x = R) 2 2 について以下の問いに答えよ. 1.y=coshz (x>0) のとき,eをy を用いて表せ. 2.y=coshx (x>0) の逆関数 cosh1x,y=sinh æの逆関数 sinh -1』をそれぞれ 求めよ (定義域も明らかにせよ). 3. sinh1xの導関数を求めよ.

(2)です。解答の途中でx=0のとき~とあるのですがこれはy=g(x)に代入していると思うのですがこれはどういう考え方なのでしょうか。求めたいのはg’(0)であって、g(x)にx=0を代入しても全く別の値が出てくるのではないでしょうか。どういう考え方をしているのか教えて頂き... 続きを読む

114 12/14 7/10 基本(例題 65 逆関数の微分法,x (p は有理数)の導関数 (1) y=xの逆関数の導関数を求めよ。 (2)y=x3+3xの逆関数をg(x) とするとき, 微分係数g (0) を求めよ。 (3) 次の関数を微分せよ。 (ア) y=1x3 (イ)y=√x2+3 P.110 基本事項 指針 (1),(2)逆関数の微分法の公式 dy 1 - を利用して計算する。 dx dx dy (1) y=x3の逆関数は x=y(すなわち y=x) x をyの関数とみてyで微分し、最後にy を x の関数で表す。 (2)y=g(x)として,(1) と同様に g'(x) を計算すると,g(x)はyで表される。 (3) →x=0のときのyの値[=g(0)] を求め,それを利用してg' (0) を求める。 が有理数のとき (xb)'=px-1 (1) y=x3の逆関数は, x=y を満たす。 を利用。 別解 (1) y=x3 の逆関数 解答 dx よって =3y2 dy ゆえに、x=0 のとき dy_1 1_1 11 = = = dx dx x 3y2 2 3(ya)a 3x 3/3 2 3 dy y=x3で dy=(x3)'=x} 2 dx (2) y=g(x) とすると, 条件から x=y3+3y... ① が満 関数f(x) とその逆関数 とすると,条件から たされる。 ①から g'(x)=dy 1_1 == dx dx 3y2+3 dy x=0のとき 3+3y=0 すなわち y ( y2+3)=0 y2+3>0であるから f'(x)について y=f(x)=x=f-l(y)| の関係があること(p.24 基本事項20) に注意。 y=0 したがって 1 g'(0) = 1 302+3 3 S (3) (7) (331 3

(1)です。写真のようにy=x’3を代入してxの式にするのは誤りですか？回答よろしくお願いします。

基本 例題 65 逆関数の微分法,x (カは有理数 (1) y=xの逆関数の導関数を求めよ。 (2)v=x+3xの逆関数を g(x) とするとき,微分係数 g' (0) を求めよ (3) 次の関数を微分せよ。 (イ) y=√x2+3 p.110 基 (ア) y=x3 指針 (1),(2)逆関数の微分法の公式 dy 1 を利用して計算する。 dx dx dy (1) y=x3の逆関数は x=y(すなわち y=xl xをyの関数とみてyで微分し、最後にy をxの関数で表す。 (2) y=g(x) として, (1) と同様にg(x) を計算すると, g'(x)はy で表され (3) →x=0のときのyの値[=g(0)] を求め, それを利用してg' (0) を求め (x)'=px-1 有理数のとき (1) y=x3の逆関数は, x=yを満たす。 答 dx よって -=3y2 dy ゆえに、x=0 のとき dy 1 = dx を利用。 y = x²²λ 別解 (1) は y=xで できませんか? dy =(x dx 1 = = dx dy = / 1 1 2 3x² 3(y³) 3x3 = 3 XC