Question

はん

(2)です。解答の途中でx=0のとき~とあるのですがこれはy=g(x)に代入していると思うのですがこれはどういう考え方なのでしょうか。求めたいのはg’(0)であって、g(x)にx=0を代入しても全く別の値が出てくるのではないでしょうか。どういう考え方をしているのか教えて頂きたいです。回答よろしくお願いします

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12/14 7/10
基本(例題 65 逆関数の微分法,x (p は有理数)の導関数
(1) y=xの逆関数の導関数を求めよ。
(2)y=x3+3xの逆関数をg(x) とするとき, 微分係数g (0) を求めよ。
(3) 次の関数を微分せよ。
(ア) y=1x3
(イ)y=√x2+3
P.110 基本事項
指針 (1),(2)逆関数の微分法の公式
dy
1
-
を利用して計算する。
dx dx
dy
(1) y=x3の逆関数は x=y(すなわち y=x)
x をyの関数とみてyで微分し、最後にy を x の関数で表す。
(2)y=g(x)として,(1) と同様に g'(x) を計算すると,g(x)はyで表される。
(3)
→x=0のときのyの値[=g(0)] を求め,それを利用してg' (0) を求める。
が有理数のとき
(xb)'=px-1
(1) y=x3の逆関数は, x=y を満たす。
を利用。
別解 (1) y=x3 の逆関数
解答
dx
よって
=3y2
dy
ゆえに、x=0 のとき
dy_1
1_1
11
=
=
=
dx dx
x
3y2
2
3(ya)a
3x 3/3
2 3
dy
y=x3で
dy=(x3)'=x}
2
dx
(2) y=g(x) とすると, 条件から x=y3+3y... ① が満 関数f(x) とその逆関数
とすると,条件から
たされる。
①から
g'(x)=dy
1_1
==
dx
dx
3y2+3
dy
x=0のとき 3+3y=0 すなわち y ( y2+3)=0
y2+3>0であるから
f'(x)について
y=f(x)=x=f-l(y)|
の関係があること(p.24
基本事項20) に注意。
y=0
したがって
1
g'(0) =
1
302+3 3 S
(3) (7) (331
3

Answer 1

✨ ベストアンサー ✨

和

　g'(x) = 1/(3y²+3)……☆
なので、g'(0)を求めるにはxに0を入れます

☆の右辺はyの式なので、
x=0に対応するyの値を求め、
これを☆に入れることになります

「x=0に対応するyの値」は、
もちろんy=g(x)の式において、です

直接「y=g(x)」の形のものがなく、
代わりに①:x=y³+3yを使います
これはy=g(x)を同値変形したものなので、
問題ありません

結局、①にx=0を入れて、
対応するy=0を求め、

g'(0) ←この0はx=0の0
= 1/(3×0²+3) ←この0はy=0の0
= 1/3

としています

はん

感覚的には3y^2+3とxの関係式にx=0を代入してyの値を求めるんだったら腑に落ちるのですが、y^3+3yという微分する前の関係式を用いてyの値を出しているのがモヤモヤします。曖昧な疑問で申し訳ないのですが、そういう計算を使うのが自然だというご説明をもらえたら幸いです。長々しくて申し訳ないです。。

和

まず、上で私が説明した話やあなたの質問には、
本質的に逆関数は関係ないですね

あなたが言っていることは、
たとえばy=x²上のx座標が3の点における
接線の傾きを求めるにおいて、
「接点のy座標は、y=2xに入れて(3,6)」
と言っているのと同じです

はん

すみません、自分には理解力が無さすぎました。時間をおいて改めて考えようと思います。ご丁寧にありがとうございました。