(2)の積分して面積を求める問題についての質問です。 自分で計算したらおかしなことになりました。 解答の計算過程は自分が考えたものより効率的だし、どうしてそうなるのか理解できています。 ただ自分の計算方法の中で具体的に何が間違っているのかよくわからないです。 わかりや... 続きを読む

7 円の一部- rを正の定数とする. 2つの曲線C1:y= 接線を持つとする. (1) 共有点の座標とyの値を求めよ. (2) C と C2 で囲まれる図形の面積Sを求めよ. y= 2.x² x2+1 解答 (1) G と C2 の共有点を T. そのx座標を1とする. C2:x2+y²=2(y≧0 ) は半円なので, Tにおける C2 の接線と半径OT は垂直である. よって,C の Tにおける接線は直線OT である. C について, S 2 円を活用する る。 まず, (共有点で) 接線が直交することを を通る,ととらえよう (円の接線と,その接点を通る半径は垂直だから:解答の 図参照). (2)では、円に関わる部分の面積は,図形的に求めることができる. 演習題は.fo" fr2-sdr を円(の一部)の面積とみるとよい(右図)。 -=2- であるから, 2.x y'=-2(-1)-- (x^2+1)² よって, 直線OT の傾きについて 2t (12+1) 2 12+1 1 2 x2+1 45゜ C2 1 √2 (名工大) Y y=√√√√x²-x2 例題では、C2が州門である(r2+y2,y≧0) ことに着目すると計算が簡単にな よって,共有点の座標は (1,1)と(-1.1) で, r=√2 (2) C, C2 ともy軸対称であるから, x≧0の部分を計算する. YA ya (第1項) =(√2)2.. (第2項)=f'(2- 1 1 O 4x (x^2+1)2 ∴.2=f2+1 1 C1 4. 1 + 8 2 2.x² 2+1. において, ·1·1= 1-1=44 +12/2 S(2-1241) dx=2-25021 x2+1 1 cos2日 従って, 求める面積は, S=2 (①-② C の接線が 2 の中心 共有点での = C2:y=√ra-x2が共有点で互いに直交する 3 2 ∴.t=±1 -dx +1² T 1 =2-2 -2² tan²0+1 cos²d0-2-2-2-2-4 -3 C2 ・=2- π yA O Xx O k (−2(2+1)-1)、 x (接線の傾き) = (OTの傾き) どちらも C を用いる.右辺は であることを利用 22 T(1. +2+1 した.また,図より/+0. ① ←扇形 + 直角二等辺三角形 15 x=tan0 と置換. d.x 1 x 0→1 do cos20. 00→ / 4 インテグラルの中は1になる。

お願いしますm(_ _)m

問2 次の定積分を求めよ。 p² x + 1 dx (1) √x (3) f(e'+e-¹)dt 74 5章 積分法 (2) *cos²0 de fcos (4) cos 2x cos x dx

(5)と(6)途中式含めて詳しく説明教えてください。 予習していて(5)と(6)だけ間違えてしまったので教えてください

次の定積分を求めよ。 練習 25 (1) S² (8x+1) dx (3) S²(6x²+5x-1)dx (5)) S (x² −5x+2) dx (15.) S. (x². (2) S (3x-7) dx (4) S² (3t² +4t-5) dt (6) S (u²-u-6) du -1 201

一番がよく分からないので教えてください なぜ実数解または虚数解を持つ判別式になるのか、なぜX＝0になるのかを教えください！

33=xt =xid_x+xd_+$enti 練習 f(x)=x+4x+αx2 について,次の条件を満たす定数aの 値の範囲を求めよ。 ④210 (1) ただ1つの極値をもつ。 (2) 極大値と極小値をもつ。 p.327 EX137,

積分の体積の問題です 黄色マーカーで引いたところの解説をお願いします

基礎問 226 123 回転体でない体積(ⅡI) 2⑦ 次の問いに答えよ. 12 (1) 定積分 1fpdt を求めよ。 (2) 不等式 z'+y2+log (1+22) log2 ......(*) で表される立体Dにつ いて (ア) 立体Dを平面 z=tで切ることを考える. このとき, 断面が存在 するような実数十のとりうる値を求めよ. (イ)(ア)における断面積をS(t) とする. S(t) をtで表せ. 立体Dの体積Vを求めよ. (ウ) 第6章積分法 精講 (1) 分数関数の定積分は,次の手順で考えます。 ① ｢分子の次数<分母の次数｣ の形へ ② f(x) ③②の形でなければ、 分母の式を見て 因数分解できれば, 部分分数分解へ (89 因数分解できなければ, tan0の置換を考える (90) (2) 立体Dの形が全くわかりませんが, 122 によれば断面積を積分して求めら れます。 だから立体の形がわからなくても、断面積が求まれば体積は求めら れるのです.そのときの定積分の式を求める作業が(イ)で, 定積分の範囲を求 める作業が(ア)になっています。 1+t2 "'(x) 解 答 (1) Softpdt=f'(1-14ps) at=1-So1tradt 1+t2 ここで, Softpdt において,t=tan0 とおくと 90(1) = S₁³ do = 7 4 -dxの形を疑う (89) 1+t2 t0→1 dt TL 1 do 00-E docosey だから、∫otpad="1+lando cos2d よって,Strat=1- 1+t2 π (2) (ア) (*) z=t を代入して ²+y² ≤log2-log(1+t²) ......① この不等式をみたす実数工、リが存在するこ これが断面が存在す とから, るということ log2-log (1+t²) ≥0 2≥1+t² = 1²≤1 " -1≤t≤1 立体Dの平面 z=t (-1≦t≦1) による断面はxy平面上の不等 式①で表される図形で,これは (半径) が log2-10g(1+1)の円の (イ) 周および内部を表すので 22² +7² {/² S(t)=z{log2-log(1+t)} (→) V=r{log 2-log(1+t²)}dt =2zf"{log2-10g(1+t)}dt =2zlog2-2x(t)'log(1+t)dt =2xl0g2-2x|tlog(1+t)+ 25 24 psdt 21² =4nf1+₁ dt-4(1-4)=(1-x) 4π 1+t2 2 ポイント 演習問題 123 ◆これが z=tで切る ということ 227 <S(t) は偶関数 87 (1) 部分積分 2 注∫_{log2-log(1+t^2)}dt = f_log1fFdtと変形してしまうと 定積分は厳しくなります。 回転体でない体積の求め方は I. 基準軸をとって ⅡI. 基準軸に垂直な平面で切ってできる断面の面積 を求めて ⅢI.ⅡIの断面積を積分する y≧0≦z≦1で表され 4つの不等式x+y-z, る立体Dについて,次の問いに答えよ. (1) 立体Dの平面 z=t による断面の面積S(t) をtで表せ. (2) 立体Dの体積Vを求めよ. 79 第6章

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224 第6章積分法 122 回転体でない体積(I) XC 底面が半径①の円で高さ 1の円柱がある.この円柱を底面の円の直径 AB を含み, 底面と45°の角度をなす平面で切ると, 大, 小2つの立体に 分かれる。このとき小さい方の立体の体積を求めよ 今回は回転体でない立体の体積ですが,基本的には回転体の体積と 1 において 同じ考え方です. たとえば, 116 の V₁=1 =xf (f(x)}dx という式がかいてありますが、π(f(z))とは、 半径f(z) | の円の面積のことです. すなわち, 立体図形を回転軸に垂直な平 精講 面で切ったときの断面積です. だから, 軽いタッチでいえば, 体積は (断面積) dx で表せる わけです。この考え方を使って体積を求めますが,立体をどこで切るかを判断 するとき,断面積が求められるような切り方をしないといけません。 A. <図1> 0 45° 1 B 解答 <図II> O B DC y (II) ² 1-t² 底面の円の中心を原点Oとし, AB方向に軸を定める. すなわち, A(-1, 0), B(1, 0) とする. 次に、小さい立体の底面の半円の弧がy≧0の領域にあるように軸 をとる. 〈図ⅡI> このとき, (t, 0) (-1≦t≦1)を通り, x軸に垂直な平面で切ると, その断面は, 〈図Ⅲ〉のような直角二等辺三 その面積をSとすると, S=12 (1-1) v-fsdt=20-dt-fa-a V= =1- 注 基準軸のとり方は1通りとは限りません. ちなみに、この立体の 自場合,軸の方を基準軸にしても体積は求められます。(別解 (図IV> (別解) 点 (0, t) (0≦t≦1) を通り、軸に垂 直な平面で切ると断面は〈図Ⅳ>のような長方 形で,その面積は2tv1ーゼ :. V=S2t√/1-P² dt ポイント だから, 演習問題 122 =-fa-ty√1-² dt =- [ ²3 (¹1-1²) ²1' = ²/3 225 ハード 回転体でない体積の求め方は I. 基準軸をとって Ⅱ. 基準軸に垂直な平面で切ってできる断面の面積 を求めて III.ⅡIの断面積を積分する xy平面上に円C:x2+y^2=1 がある.軸上の点T (t, 0) (-1≦t≦1) を通り,x軸に垂直な円Cの弦を PQ とする. このと き、PQを1とする正三角形 PQR を ry平面に垂直になるよう につくる. 次の問いに答えよ. 19 (1) △PQR の面積Sをtで表せ. (2) tが1から1まで動くとき, PQR がつくる立体の体積V 第6章

積分の問題です。 黄色マーカーで引いたところの解説をお願いします

基礎問 220 第6章 積分法 120 回転体の体積 (V) 曲線 y= (vi-va) (x≧0, a>0) について,次の問いに答えよ. (1) この曲線のグラフをかけ. (2) この曲線と y=α によって囲まれた部分を直線y=a のまわりに 1回転してできる体積を求めよ. (1) 75 をもう一度読みかえしてみましょう. 今回は, 極値 を求める必要がありますから, y' は因数分解することになります. .......... それならば,このまま微分した方がよいでしょう. (2)今まで学んだ回転体の体積は、回転軸がx軸かy軸でした。今回は、y=a です.いったいどのように考えればよいのでしょう。 目標は, 「回転軸をx 軸に重ねる｣ことです. 精講 (1) x>0 のとき y'=2(√x - √a). (√x - √a)=x^² (√x - √a) 1-√a =1- 解答 x→+0 ->0 I √a 2x√x よって, グラフは下に凸で,増減は表のようにな り, limy'=-8, limy =∞ よりグラフは右図. 218 0 ... a y' 4 a 0 + V 20 (2) 曲線と直線y=α の交点のx座標は (√x - √a)² = a√x - √√a = ± √a √x=0, 2√a :: x=0, 4a 8/4 a 10 x=0のとき､ y'の分母= 0 となるので a 注 limy' を調べているのは, y' が x=0 で定義されていない, すな x→+0 わち, 微分可能でないからです. このことは, グラフにおいて点 (0, a) でy軸に接するようにかかれている部分でいかされています。 IC 求める体積Vは〈図Ⅰ>の斜線部分を直線y=a のまわりに回転させ! た立体の体積だから、この図形を軸の正方 向に-4だけ平行移動した <図II〉の斜線部 (141) 分をx軸のまわりに回転すればよい。 "". V=1 = πf^^{(√x - √a)²-a³dx = n₁²(x-²√a √x)²dx 演習問題 120 *4α = nſ₁² (x² − 4√a x² + 4ax) dx ポイント x³ 8√a 5 5 8.25 = π[3³ = nα² (43 4³ 242 15 = ・+2・4 5+2.4²) -ла³(10-24+15) -x²+2ax² πa³ 14g YA 0 a 221 32 15 数学ⅡI・B48 ポイントによれば, 平行移動の公式は次の通り。 注 y=(√x-a-a y=f(x) をx軸の正方向にp,y軸の正方向に qだけ 平行移動すると, y-q=f(x-p) となる. Anx 回転軸がx軸やy軸でないとき, 平行移動して回転軸を軸や軸に重ねる (1411) 4 エ y=cosx のグラフと, 点 (0, 1) と点 (2m, 1 ) を結ぶ線分で囲ま れた領域を直線y=1のまわりに1回転してできる立体の体積V を求めよ. 79 第6章

⑴で、どうして dy=1/e e y/e dyとならないのですか？

形の面積 65-267, を果たす。 --g(x)}dx -in 2x x 2π I は, x)の符号 よい。 曲線x=g(y) とy軸の間の面積 基本例題 257 次の曲線と直線で囲まれた部分の面積Sを求めよ。 yelogx, y=-1, y=2e,y軸 y=-cosx (0≤x≤n), y=-1/2, y=-1₁ でもよい。 解答 (1) y=elogx から -1≤y≤2e CHIC XU •2e 2e kot S=S² e dy=[e-e = 1² ₁ まず、曲線の概形をかき, 曲線と直線や座標軸との交点を調べる。 (1) yelogxをxについて解き,yで積分するとよい。 ･･･xについての積分で面積を求めるよりも、計算がらくになる。 (2)(1) と同じように考えても,高校数学の範囲では y=-cosx を x=g(y) の形にはできない。 そこで置換積分法を利用する。 (1),(2) ともに 別解 のような, 長方形の面積から引く方法 =e.e² - e•e== 3=e³-e¹-1/ (2) y=-cosx75 よっ x=ee π y dy=sinxdx xsinxdx -|-xcosx}"+f" cosxdx COS X π - - - - - - (-1/2) + 5 - 12/12 3 +0= + TC 2 sinx yA 2e e S 練習 ③257 (1) x=y2-2y-3, y=-x-1 (2)y= 1 √x y=1, y= -1 y軸 2' 2 8. ya 1 1 2. O 17 y軸 y 2 2 113 π e² 1 2 2e+1 Y+WA S p.424 基本事項 ③ 3 x=ee 102 ↑ SEX 00000 2 T2 y=–cost π 次の曲線と直線で囲まれた部分の面積Sを求めよ。 4703 π y x d =2e3+e² || 重要 263 x=g(y) (1) の 別解 (長方形の面積か ら引く方法) S=e²(2e+1) TC 2 常に g(y)≥0 s=g(y)dy -S4(elog.x+1)dx -[e(xlogx-x)+x] + =e³-e¹-² (2) の 別解 (上と同じ方法) S = ²/3 x ² ( 7²2 +²2²) S= 427 T cosx+ 1/1/2)dx Hot CO 8章 38 面積 38 Op.440 EX213

紫色の線の場合分けの範囲の求め方がわかりません dxだからxで積分　が関わっているのですか？ 回答よろしくお願いいたします🤲

基礎問 微分法と積分法 101 絶対値記号のついた関数の定積分 精講 次の定積分を計算せよ. S²1x²-1\dx (2) ²a²dz (0<a≦1) So 絶対値記号のついた関数は, そのままでは積分できません. 次の公 式を利用して絶対値記号をはずしますが, このとき,

(1)で接線を求めたのですが　その後に　点(a、b)を代入したら　三次関数になってしまいました　なぜですか？　 解説よろしくお願いいたします🤲

基礎問 150 第6章 微分法と積分法 95 接線の本数 曲線C:y=x-x 上の点をT(t, t-t) とする. ○ 点Tにおける接線の方程式を求めよ. (2) 点A(a,b) を通る接線が2本あるとき, a,bのみたす関係式 を求めよ。 ただし, a>0, b≠α-a とする. (3) (2) のとき, 2本の接線が直交するようなα b の値を求めよ. 50円