（2）でなぜ同一表面上にないと aの係数を0と置けるのでしょうか

817.四面体 OABC において, △ABC の重心を G, 辺 OA を2:1に内分する点を m面体 OABCにおいて, △ABC の重心を G, 辺 OA を2:1に内分する点を 0直線 OG と平面 BCQの交点をP, 直線 AP と平面 OBCの交点をRとす る。OA=G, OB=5, OC=c とするとき, 次のベクトルをa, 5, こを使っ て表せ。 (1) OF ye RF

こういうどこかの線上にあることを証明する問題で、下の○のような式が必ずあると思うのですが、これって逆でもいいのですか？例えば、この例題3だとAR=3AG(→は除く)という感じです。教えていただきたいです🙇‍♂️

ABDP の重心Gは, 線分 CM上にあることを示せ。また,CG:C- →AP=kAB となる実数々がある。 題 3 対角線 AR上にあることを証明せよ。 言え方 3点A, G, Rが一直線上にあることを示せばよいから, Aを基準と してそれぞれの点の位置ベクトルを考える。そして. AG=kAR となる実数kがあることを示す。 中HAで AB=6, AD=à, AF=D とすると, AR=AB+BC+CR 証明 D C A B =6+à+p R 9S/ また,点Gは△BDP の重心である P) Q から, AG-6+2+) したがって, MG= AG-AM よって, △BDP の重心Gは対角線 AR上にある。 花MATADE DC (AG= AR 3 Ioa201 例題3の平行六面体において, 辺 APの中点をMとする。このと 求めよ。 p.1075.p

位置ベクトルの問題です。 赤くマークしているところがわかりません！ ベクトル苦手なので丁寧な解説お願いします‼︎

基本 例題30 線分の垂直に関する証明 OOO00 △ABC の重心をG, 外接円の中心を0とするとき, 次のことを示せ。日AA (1) OA+OB+OC=OH である点Hをとると, Hは△ABCの垂心である。 (2)(1)の点Hに対して, 3点0, G, Hは一直線上にあり GH=20G 【類山梨大) 基本 23 基本 68 音針> (1) 三角形の垂心とは, 三角形の各頂点から対辺またはその延長に下ろした垂線の交点で ある。 AH+0, BC+0, BH+0, CA+0 のとき AHIBC, BH」TA → AH·BC=0, BH·CA=0 であるから,内積を利用 して, ④ [(内積)30] を計算により示す。 0は△ABC の外心であるから, |OA|=|OB|=|OC|も利用。 1日 の CHART 線分の垂直(内積) %3D0 を利用 間( TSHAH 解答 (1) ZAキ90°,ZBキ90° としてよい。 このとき,外心0は辺BC, CA上 にはない。 OH=OA+OB+OC から AH=OH-OA=OB+O¢ ゆえに AH-B =(OB+OC)-(OC-OB) OAN=OCP-10BF=0 A (直角三角形のときは 2C=90° とする。 このとき, 外心は辺 AB上 にある(辺 AB の中点)。 0 0 R+0 B るで関こD点 a BC=OC-OB (分割) 0- 1AABCの外心0→ OA=OB=0C(数学 A) AJ 同様にして 38すさう-1 BH-CA=(OA+OC)· (OA-OC) =|OAF-|OCf=0 AH=OB+OC+0, BH=OA+O¢+0 SA 検討) また, ①から よって, AH+0, BC+0, BH+0, CA+0 であるから AHIBC, BH CA すなわち AHIBC, BHLCA したがって,点Hは△ABCの垂心である。 (2) oG= _1OH から OH=30G 外心,重心,垂心を通る直線 (この例題の直線 OGH)を オイラー線 という。 ただし,正三角形は除く。 OA+OB+OC =OH から OH=30G (1) から- OA+OE+OC=oH A+8A 3 ゆえに GH=OH-OG=20G よって,3点0, G, Hは一直線上にあり OAN+OO+ GH=20G

波線の式が理解できません。直角だから内積は0というのは分かっています。教えていただきたいです🙇‍♂️

2点A(5, 0, 4),. B(7, -1, 9)を通る直線に, 原点0から垂線OHを下 球面(x+1)+(y-3)?+(z+2)?=20がxy 平面と交わってできる図形の方 第8章 全同座院 57 位置ベクトル②) 題 56 直線へ下ろした垂線 SMJ ろす。このとき、点Hの座標を求めよ。 え方 実数すを用いてOH=OA+tAB と表し,OHLABであることからtにっ いての1次方程式を作る。 .00 MA S) 点Hは直線AB上にあるから, tを実数とすると, MA (D) OH=OA+AH =OA+tAB OC B 14 ホラ」と表せる。 AB=(2, -1, 5)であるから, 糖まさす OH=(5, 0, 4)+t(2, -1, 5)さいさ y =(5+2t, -t, 4+5t) OHLABより, OH-AB=2(5+2t)-1×(-t)+5(4+5t)=0 これを解いて、t=-1AD8 HA面四市 よって、 OH=(3, 1, -1)となるから、 ALMM65 5 H 点Hの座標は, 球面が平面と交わってできる円 DAAE 程式を求めよ。 xy平面の方程式は、 があるから、 xy平面の方程式は2=0で表されるから,球面の土T 2=0

ARベクトルを求める途中式の意味がわかりません。 途中式の考え方を教えて頂きたいです！

41 ベクトルと平面図形 A 413 (1) P Q 2 B C R AP= 6, AQ= 1 C 2 AR = ー6+2c ー6+2c %D 2-1 [位置ベクトルと成分表示] 3 まとめ18 ックポイント

赤波線が引いてあるところの意味がわかりません。どうして係数の和が1になるのでしょうか。教えてください🙇‍♂️

686 第10章 空間 Check 例 題 387 空間の位置ベクトル(1) OA=G, OB=5, OC=c とする。 Ch D G。 A 線OG と底面 ABC との交点をHとする。 oG および OH を a, b, c を用いて表せ。 (2) 四面体 OABC において, △ABC の重心をG. 辺OAの中点を M, 平面 MBC と直線 OG との 交点をNとする.ON を a, b, c を用いて表せ、A また,ON:NG を求めよ。 4H E B 0 M IG B (1) 点Hについての2つの条件をベクトルで考える. (i)点Hは直線OG上にある TBC 錠 (i) 点Hは平面 ABC 上にある 考え方 (ロ-) 解答(1) Gは ADEF の重心より, △ABCの重心G a+ó,c 2_2a+6+2 a+6+c a OD+OE+OF」2 OG= OG= 3 Eは ABの中点より 2 3 6。 3 OH=kOG(kは実数) 3点0, G, Hは一直線上より, 0より。 OE= 2 し万 OH=k{ k- -C 6 6 2a+16+1c k 点Hは平面 ABC上の点より,0sk++=1 仕 和が4 (0-8) よって,k= k 代 9和 に着目すると, 4.2a+ō+c 6 6 3 OH=3oG=2a+6+¢ 2 3 より, (2) Gは△ABCの重心より, 食謝はOG= 6 4 BA平04 H ……①OGをOM, OE. OCで表す。 oG=a+5+_2+6+3 20M+OB+0C %D 3 3 3 3点0, N, Gは一直線上より, ON=kOG(kは実数) 0より, 2 ON=k-OM+-OB+-OC 3 oM 家 1 2k k - 0C OB+ 3 3 3 3 点Nは平面 MBC上の点より, 2 十十3 k,k 10% =1 OM, OE, OC の係 3 w よって, k=- 3 より, ON=3 0G=4+6+ 数の和が1 w 4 -OG: 4 また, ON=2OG より,ON:NG=3:1 A 0

この問題の最後OG＝4/3OMとなるのはどうしてですか？どうしてもOG＝3/4OMになっちゃいます…

3 四面体OABC において, 辺OA, 辺BCの中点をそれぞれP, Q とし,線分PQの中点をMとすると, 直線OM は△ABCの重心G を通ることを示せ。圏 [証明] 点0を基準とする3点A,B,Cの位置ベクトルをそれぞれ ā, ō, ことする。 OF-OX= od-OB+OC) =(6+) 2 OM-OF+0) =+6+ 1」 212 OG=(OA+OB+OC)=G+6+) oG- o よって したがって, 直線OM は△ABCの重心Gを通る。

「＝１」、「＝０」になるのは何故ですか？😭😭

(3) 4個同時に取り出すとき, 3色すべて取り出される確率を求めよ。 問B 四面体 OABC において, 辺 OA, OB, OCをそれぞれ1:1,1:2,1:3に内分する 点をP, -Q. R とし, 三角形 ABC の重心をGとする。平面 PQR と直線 OG との交点をS, 直 線 PS と直線 QRとの交点をTとおき, ベクトル0A = a, OB = 6, OC=c とおく。 このと て O き,次の問に答えよ。 (1) ベクトル OSを, ベクトル4, b, cで表せ。 主内 の太聞 (2) 比QT:TR を求めよ。 O の内 St

(2)でなぜ最初に|AGベクトル|を16倍するという考えが思いつくのかわかりません． それとGAベクトルって−A Gベクトルじゃないんですか?GAベクトル＝AGベクトルとなっているのもよくわかりません…

位置ベクトルと内積, なす角 重要 例題59 1辺の長さがaの正四面体 ABCD において, AB=D6, AC=6, AD=à とする。 JAB. CD の中点をそれぞれ M, N とし, 線分 MN の中点をG, AGB=0と OOOO0 する。 AN, AG, BGをそれぞれ6, c, ā で表せ。 (2) GAP, GA-GB をそれぞれaを用いて表せ。 (3) cose の値を求めよ。 【類熊本大) 基本 50 指針>(1) 中点の位置ベクトルの利用。 (2) GAF=|AG=AG·AG, GA·GB=AG·BG (1)の結果を利用 して計算。 (3) GA-GB=IGAIGB|cos ® であることに注目すると IGA|=IGB| よって,OはGA·GB=|GA\ cos0となるから, (2)の結果が利用 できる。 の ここで,AABNは AN=BN の二等辺三角形 解答 A ) AN=G+d) M AG-(AM+AN)=方+に+=}Gtè+d) BG=AG-AB=-(-3ō+¢+d) 2 D B 2) 16GAF=|4AGFー(5+c+à) (5+c+d) 41=に=は=aから あ=d=a-5 =6f+にP+aP+2(あc+è-ā+ā-5) =3a°+2×3a°cos 60°=6α° 16GA-GB=4AG-4BG=(5+è+à) (-3万+&+d) =-3|万+にP+はパ-25-c-25-à+2è·d =ー-2a°cos 60°=-2α° =a°cos 60° イ分数の計算を避けるため, 4AG=6+c+d, 4BG=-35+c+à として計算。 よって 3 a° IGAF=, GA-GB=- 8 ) AM=BM, AN=BN であるから 8 イAN|=|BN|=。 2 ABIMN ゆえに

なぜこの２つの問題は求め方が異なるのですか❓❓ (2枚目の問題はQがOP上にあると考えて実数kと置いている

1 AOABにおいて.辺OA を1:3.辺OB を2:1に内分する点を,それ ぞれ C. Dとし.また. 2線分 AD. BC の交点を P. 線分(OP の延長が 辺 AB と交わる点をEとする。DA=à. OB=6とするとき、ベクトル OE をa.あを用いて表せ。また。 AE:EB を求めよ。 0 S P\t B E AP:PD- S:1-s OP - (1-5)ぶ+sE BP:pC-t:1-t op.tる+(t-リ OP 4 ) とは-次出立エり t 4 25 t-l 3 it ニ ニ 代入して - 68 Op- 10 こ [0 (0 a 65 m る。 7 OE OF- d5 7 AE: EB = 6:1 ニ H T。 「o 93