(2)においてです。 2枚目が私の回答です。 なぜなす角tanθ(4分のπ)は求まっているのにtan(a±4分のπ)＝...となるのですか？

① 基本 例題 147 2直線のなす角 直線√3x-2y+2=0, 3√3x+y-1=0のなす鋭角を求めよ。 (2) 直線y=2x-1と の角をなす直線の傾きを求めよ。 指針 2直線のなす角 まず、 各直線とx軸のなす角に注目 直線y=mx+nとx軸の正の向きとのなす角を0とすると m=tano (0≤0<1, 0+17/7) 解答 (1) 2直線の方程式を変形すると √3 -x+1, y=-3√3x+1 y= 2 図のように, 2直線とx軸の正の向 きとのなす角を,それぞれα, β と すると、求める鋭角0は0=β-α √3 tan α= 2 tan0=tan(β-α)= tan d tanβ=3√3で, tan β-tana 1+tan βtana (1) 2直線とx軸の正の向きとのなす角をα,βとすると,2直線 のなす鋭角0 は,α<β なら B-α または π-(β-α) で表される。 ←図から判断。 この問題では, tan, tan βの値から具体的な角が得られないので, tan ( β-α) の計算に 加法定理を利用する。 πC 0<a<2/2であるから 3 =12/ (2) 直線y=2x-1とx軸の正の向き とのなす角をα とすると tanα=2 tan a tan π 4 π 4 (複号同順) 1千tan a tan =-3√3x+1 2±1 1+2･1 であるから 求める直線の傾きは √3 -(-3√3-√3)={1+(-3√3). √3)=√3 2 2 y=- 2x+1 a YA - 3,1/3 0 0 π 4 y=2x B x /y=2x-1 x p.227 基本事項 [2] ya SOF 71 770 n O y=mx+n -8 練習 (1) 2直線x+3y-6=0,x-2y+2=0のなす鋭角を求めよ。 1 47 単に2直線のなす角を求める だけであれば, p.227 基本事 項②の公式利用が早い。 傾きが m, m2の2直線のな す鋭角を0とすると tan 0= mi-m2 1+mm2 別解] 2直線は垂直でないから tan 8 x √3-(-3√3) 4/6 1+√3-(-3√3) /3 2 -1/3-1/2-√3 7 ÷ -= 08/1/2から0 231 3 2直線のなす角は, それぞ れと平行で原点を通る2直 線のなす角に等しい。 そこ で, 直線y=2x-1 を平行 移動した直線y=2x をも とにした図をかくと, 見通 しがよくなる。 18AT- BATU 31-10T (2) 直線y=-x+1と の角をなし, 点 (1,√3) を通る直線の方程式を求めよ。 4章 24 加法定理

特性方程式を解く過程はなぜ解答に書かなくてもいいの？

496 基本例題 104 an+1 = pan+g 型の漸化式 次の条件によって定められる数列{an}の一般項を求めよ。 α=4, an+1=2an-1 CHART OLUTION 漸化式 an+1= pan+g (p=1, g≠0) 特性方程式 α= pa+α の利用 50100000 ......! JOITUIO p.494 基本事項 1,2,基本100 2 階差数列の利用 ・・・・・・ ① について an+1=pan+q (p=1, g≠0)の形の漸化式から一般項を求めるには, か.44 の基本事項2 で紹介した, 特性方程式を利用する方法が有効である。 an+1=2an-1...... ① において, an+1, an の代 ②に 解答) an+1=2an-1 を変形すると an+1-1=2(an-1) ここで, bn=an−1 とおくと an+1=2an-1 a=2α-1 an+1-α=2(a₂-α) わりにαとおいた方程式 α=2α-1 ...... 対して, ①-② を計算すると an+1-α=2(an-α) そこで,数列{an-α}(数列{an}の各項からαを引いた数を頂とする数列)を 考えると,公比2の等比数列であるから,まず,この数列{an}の一般項を 求める。 ②について (別解 参照) an+1=pan+α an+2=pan+1+g ④-③ から an+2an+1=p(an+1-α) が得られる。 -) ③ において,nの代わりにn+1 とおくと bn+1=26n, b1=α1-1=4-1=3 数列{bn}は,初項3, 公比2の等比数列であるから bn=3.2n-1 bn=an+1- an とするとbn+1=0となり、数列{an}の階差数列{bn}は等比 数列となる。 (E-ON 1,2とも等比数列の形が導かれ, 一般項を求めることができる。 ←の方針。 別角 ( α=2α-1 の解は q=1 なお、この特性方程式 を解く過程は、解答に書 かなくてよい。 よって an=bn+1=3・2-1+1 [inf.慣れてきたら,以下のように bn とおき換えず, an-α のまま考えるとよい。 an+1=2an-1 を変形すると an+1-1=2(an-1) また α-1=4-1=3 よって, 数列{an-1}は,初項3,公比2の等比数列であるから an-1=3.2n-1 (6) 20 ゆえに an=3.2n-1+1 R

解答のOM⊥BCになる理由が分かりせん。教えてください💦

EBCに下ろした垂線を り,線分 CD が円の直径 p.406 基本事項 ① ② 円に関する定理や性質 (*) ある。) フェ 中点連結定理 コ点2つで平行と半分 DBC, ∠DACは半円の に対する円周角 問題は, △ABC が鈍角 三のときも成り立つ。 90° または ∠B=90° の 角形のときは (2) の四 できない。 利用)。 0 (TRIANO) も利用。 =∠CAHであ MAA 050 基本例題12 重心 外心垂心の関係 正三角形でない △ABCの重心G,外心O,垂心Hは一直線上にあって,重心は 外心と垂心を結ぶ線分を,外心の方から1:2に内分することを証明せよ。なお, 基本例題 71 の結果を利用してもよい。 p.406, 407 基本事項 ①1, ②, ④4 指針 証明することは,次の [1], [2] である。 [1] 3点 G, 0, Hが一直線上にある。 これを示すには,直線 OH上に点Gがあることを示せばよい。 それには, OH と中線 AM の交点を G′として, G′とGが一致することを示す。 [2] 重心 G が線分 OH を1:2に内分する,つまり OG: GH=1:2をいう。 AH // OM に注目して,平行線と線分の比の性質を利用する。 …… すなわち 練習 . 右の図において,直線 OH と △ABC の 中線 AMとの交点を G′ とする。 AH⊥BC, OM IBCより, AH// OM であるから AG' G'M=AH : OM 72 =20M:OMBI B MAD" +4BD"-2A (G) =2:1 SBD ⓘ TAM は中線であるから, G′ は△ABC の重心G と一致する。 よって,外心 0,垂心 H, 重心Gは一直線上にありA HG : OG = AG:GM=2:1> OG:GH=1:2 OPT" # C=AD'+12 検討 三角形の外心,内心、重心,垂心の間の関係 心,外心の性質から。 0. GH U18 08,201 2009 基本例題71 の結果から。 M A ①外心は三角形の3辺の中点を結ぶ三角形の垂心である (練習 72)。 円劇・阿 ②重心は3辺の中点を結ぶ三角形の重心である(練習70) 内 ③ 正三角形の外心,内心,重心,垂心は一致する (練習 71)。 したがって, 正三角形ではオイ ラー線は定義できない。 Acti (1) 検討 (この例題の直線OH) を 外心,重心,垂心が通る直線 オイラー線という。ただし 正三角形ではオイラー線は定 義できない。下の 検討 ③ 参 照。 (1) PUTO DAA △ABCの辺BC, CA, ABの中点をそれぞれL, M, N とする Oは 413 3章 10 三角形の辺の比、五心

(1)においてです。 解答でなぜ平行である証明がかいていないのですか？ Oは線分DCの中点であるから のみである理由を教えてください。

01 412 00000 基本例題 71 三角形の外心垂心と証明 鋭角三角形 ABCの外心を0, 垂心をHとし, 0から辺BCに下ろした垂線を OM とする。 また, △ABCの外接円の周上に点Dをとり, 線分 CD が円の直径 になるようにする。 このとき,次のことを証明せよ。。 (1) DB=20M ②から (2) 四角形 ADBH は平行四辺形である (3) AH=2OM 指針▷外心・垂心が出てきたときの,一般的な考え方のポイントは 外心外接円をかいて、 等しい線分 に注目する。 または円に関する定理や性質(*) を利用してもよい。 垂心 → 垂線を下ろして,直角を利用。 (*) この例題では,次のことを利用する。 4022).2 p.406 1,2 p.406 基本事項 円周角の定理 (特に, 半円の弧に対する円周角は90° である。) 解答 (1) M は辺 BC の中点, 0 は線分DC の 中点であるから 中点連結定理により DB=20M ① 2) 線分 CD は外接円の直径であるから, DB⊥BC, AH⊥BCより B DB // AH DALAC, BH⊥AC より 検討 DA // BH この問題は,△ABC が鈍角 えに,四角形 ADBH は平行四辺形である。三角形のときも成り立つ。 (2) から AH=DB ② ∠A=90° または ∠B=90°の AH=20M 直角三角形のと M ANCIERS DRA. 中点連結定理 中点2つで平行と半分 A中 TH C : ∠DBC, ∠DAC は半円の 弧に対する円周角。 GA 7

なぜ→n≠→0の時、bの値はなんでもいいですか？

446 重要 例題 70 3点を通る平面上の点 点 3点A(1,-1,0), B(3, 1, 2), C (3, 3, 0) の定める平面をαとする。」 が満たす関係式を求めよ。 P(x,y,z)がα上にあるとき, x,y,z CHART O COLUTION 3点A,B,Cが定める平面上にある点P(x,y,z)TO 1 点A(a)を通り ONLAB であるから を満たす 2 OP=sOA+tOB+uOC,s+t+u=1 平面αに垂直なベクトル(法線ベクトル)はAB, LACから求められる。 このに対し、 0 から x,y,zの関係式を求める ( 1 の方針)。 AP= 別解は2の方針。 s, t, u をx, y, zで表し, s+t+u=1に代入する。 解答 平面αの法線ベクトルを n = (a,b,c) (n=0 とする。 ここで AB=(2, 2, 2), AC=(2, 4, 0) n.AB=0 よって NAC であるから ゆえに 2a+46=0 ②から a=-2b よって n=b(-2, 1, 1) n=0 であるから,b=1 としてn=(-2, 1, 1) 点Pは平面上にあるから n•AP=0 AP=(x-1, y-(-1), ²-0)=(x-1,y+1, z) であるから -2x(x-1)+1×(y+1)+1×z = 0 2a+26+2c=0 に垂直n(n-d=000万 n• AC=0 ...... PRACTIC これと①から → したがって 2x-y-z-3=0 別解原点を0とする。 点Pは平面上にあるから, s, t, u を 実数として OP=sOA+tOB+uOC, s+t+u=1 と表される。 よって (x,y,z)=s(1,-1,0)+t(3,1,2)+u(3,30) ゆえに s, t,uについて解くと s = x-y-z s+t+u=1 に代入して整理すると 2 c=b =(s+3t+3u, -s+t+3u, 2t) z=2t x=s+3t+3u,y=-s+t+3u, " t = ³/2² p.438 基本事項 4,基本 60 u= x+y-2z 6 2x-y-z-3=0 ← 1 の方針。 nを成分表示する。 n A inf. 一般に,平面に垂直 な直線をその平面の法線 といい、平面に垂直なベク トルをその平面の法線ベ クトルという。 (*) において、万キロであ れば,b はどの値でもよい。 一般に,1つの平面の法線 ベクトルは無数にある。 ←x,y, 3, zの関係式を求め たいから, s.tuを y, zで表し, s+t+u=1 に代入する。

二次関数に関して なぜ符号がこのようになるのか分かりやすく説明して下さい！また練習（2）の問題も符号に着目して解説していただけると嬉しいです😃

p. 115 坪平 ひを 基本例題 73 2次関数のグラフの平行移動 (2) (1) 2次関数y=2x²+6x+7 3 のグラフは, 2次関数 ① y=2x²-4x+1 ...... ②のグラフをどのように平行移動したものか｡ (2) x軸方向に①1,y軸方向に ―2)だけ平行移動すると, 放物線 C:y=2x²+8x+9 に移されるような放物線C の方程式は y=2x2+7x+1 である。 指針 (1) 頂点の移動に注目して考えるとよい。..... 解答 (1) ① を変形すると まず①,② それぞれを基本形に直し、頂点の座標を調べる (2) 放物線Cは,放物線 C, を与えられた平行移動の逆向きに平行移動したものである。 p.115 基本事項 ③ ② を利用。 y-2(x+2)+ \/43 ①の頂点は(-12/12/2) ② を変形すると ② の頂点は 点 (1,-1) ②のグラフをx軸方向にp, y 軸方向 ) に gだけ平行移動したとき, ①のグラフに重なるとすると 3 1+p=-12-1+q=12/2 ゆえに=- 5 7 (+) 2' よって,①のグラフは,②のグラフを 5 軸方向に 2' (2) 放物線Cは, 放物線 C1 をx軸方向に -1,y軸方向に 2 だけ平行移動したもので, その方程式は _y_2=2(x+1)^+8(x+1)+9 ② ① : 2x²+6x+7 x 2,9=2 00000 0 y=2(x-1)^-1②2x2-4x+1 軸方向に 27 だけ平行移動したもの。 2 したがって y=2x²+712x+121 別解 放物線 C1 の方程式を変形すると y=2(x+2)+1 よって, 放物線 C1 の頂点は点(-2, 1) であるから, 放物線 Cの頂点は点 (-2-1, 1+2) すなわち 点 (-3,3) ゆえに, 放物線C の方程式は y=2(x+3)+3=2x2 +712x+121 =2(x2+3x)+7 > (=2 {x² + 3x + ( ² ) ² } -2-(3)² +7 基本72) =2(x²-2x)+1 =2(x²-2x+1²)-2-1²+1 (*) 頂点の座標の違いを見て、 C としてもよい。 22 x 軸方向に 1, y軸方向に2 x軸方向に-1 軸方向に2 C₁ 3章 9 An とおき換え。 (xx- (-1) lyy-2 頂点の移動に着目した解法。 平行移動してもx²の係数 は変わらない。 とその移転 (1) 2次関数y=x²-8x-13のグラフをどのように平行移動すると, 2次関数 y=x2+4x+3のグラフに重なるか。 73 [広島文教女子大] (2) x軸方向に1, y 軸方向に2だけ平行移動すると, 放物線y=x²+3x+4に 移されるような放物線の方程式を求めよ。 (p. 125 EX56

定積分と微分法に関する問題です。 解説に積分のインテグラルの範囲がxからaだったのが、マイナスをつけて上端下端を逆にしています。何故ですか。

p.323 基本事項2 数αの値を求めよ。 TAT (2) Saf(t)dt=x-3x X

(1)の存在範囲がなぜ線分A‘B’じゃないですか？

38 平面上の点の存在範囲 (2) 日本 [+FOB, Osts, s≧0, t≧0 「△OAB において,次の式を満たす点Pの存在範囲を求めよ。 OP=sOA+ 1 (1) (2) OP=OA+tOB, 1≦s≦2,0≦t≦1 例題 答 CHART OLUTION OP=sOA+tOB である点Pの存在範囲 0≦stt≦k を変形して≦1を導く まずsを固定して, tを動かす (1) 0≤s+t≤ // ²5 p.389,390 基本事項 ②. 基本 37 0≦3s +3t≦1 [2] (1) 条件より。 03s+3t≦1であるから, OP=3s (OA) +3t (1/30F) とし. OP=s'OA'+f'OB'′, 0≦s'+t'≦1, s'≧0,f'≧0の形にする。 (2) stは互いに無関係に動く。そこで,まずsを固定して tを動かすとよい。 OP=sOA+fOB=3s(OA) +3t (1/3 OB) また ここで, 3s=s', 3t=t とおくと OP=s(OA) +r(OB), oss+t'≤1, s'20, 20 OR. = よって, 1/2OA=OA, //OBOB'となる点 A', B'をとる と,点Pの存在範囲は △OA'B'の周および内部である。 sを固定して, OA' =SOA とす B CC'E ると OP=OA'+tOB ここで,t を 0≦t≦1の範囲で変化 させると, 点Pは右の図の線分A'C' 0 上を動く。 00 P tOB SOA A A D 重要 43 395 OP=OA' +△OB' 0≤0+A≤1, ≥0, A" A≥0 この形を意識して変形する。 O P B' ベクトル方程式 A B ◆sとtは無関係に動く。 そこで まずsを固定し てtを動かし, Pの動く 範囲 (線分 A'C') を考え る。 次に, sを動かすと どうなるかを考える。 ただし,OC=OA' + OB である。 に,sを1≦s≦2の範囲で変化させると,線分 A'C' は図の線分 AC から DE まで 行に動く。ただし,OC=OA+OB, OD=20A, OE=OD+OB である。 にって, OA+OBOC, 20A=OD, 20A+OB=OF となる点C,D,Eをとると、 Pの存在範囲は平行四辺形ADEC の周および内部である。 ACTICE... 38 ③ △OAB において,次の式を満たす点Pの存在範囲を求めよ。 B6 AHOR Osstt≦4, s≧0, t≧0

（2）の問題です。 X軸方向に1だけ進むのがどうしてかわかりません。 -x+1と書いてあるから-1だけ進むと思ったのですが… 解説お願いします！

次の関数のグラフをかけ。 また,関数 y=3* のグラフとの位置関係をいえ。 (1) y=9･3x .(E) (2) A(2)y=3x+1 (3) y=3-92 指針y=3* のグラフの平行移動・対称移動を考える。 y=f(x) のグラフに対して O t x軸方向にか,y 軸方向に gだけ平行移動したもの x 軸に関して y=f(x)のグラフと対称 y軸に関して y=f(x)のグラフと対称> 原点に関して y=f(x)のグラフと対称 y=f(x-p)+α y=-f(x) y=f(-x) y=-f(-x) (3) 底を3にする。 解答 (1) y=93x=32.3x=3x+2 したがって, y=9･3% のグラフは, 2x >__> $5.00 もある｡ y=3" のグラフをx軸方向に-2だけ平行移動したもので ある。よって, そのグラフは下図 (1) (2)y=3x+1=3-(x-1) したがって, y=3x+1のグラフは, y=3xのグラフをx軸方向に1だけ平行移動したもの, す なわちy=3" のグラフを軸に関して対称移動し、更にx 軸方向に1だけ平行移動したものである。 よって、そのグラフは下図 (2) YA x y=3x -2 (3) y=3-9.2 (32) +3=-3" +3 したがって,v=3-9 12 のグラフは, (*)y=-3*とy=3*のグ ラフはx軸に関して対称。 y=-3% のグラフ (*)をy 軸方向に3だけ平行移動したもの, すなわちy=3のグラフをx軸に関して対称移動し、更にyx軸との交点のx座標は、 軸方向に3だけ平行移動したものである - 3x+3=0から3=31 よって、そのグラフは下図 (3) (2) y=3x+1| +1+ 13 ly=3* y=3x+1 鄭出小木③歷乗県(TSIAHO <y=3xとy=3のグラフ はy軸に関して対称。 CERED よってx=1 最場合) 1/1/22 (3) ly=3x 7/1/1) +15) > 注意 (1)=3 のグラフを y軸方向に9倍したもので +3 p.260 基本事項 ① - y +3 13 2 O y=3-9 1 +3 x e>8>a sak

矢印から矢印の計算の仕方がわかりません。 解いていただけると嬉しいです。 よろしくお願い致します。🙇‍♀️

54 00000 基本例題 曲線上の動点に連動する点の軌跡 点Qが円x2+y2=9 上を動くとき, 点A(1, 2) とQを結ぶ線分AQを2:1 に内分する点Pの軌跡を求めよ。 Ip.151 基本事項 1 CHARTO OLUTION 連動して動く点の軌跡 つなぎの文字を消去して、x,yだけの関係式を導く 動点Qの座標を (s,t), それにともなって動く点Pの座標を(x,y) とする。Qの 条件を s, tを用いた式で表し, P, Qの関係から, s, tをそれぞれx,yで表す。 これをQの条件式に代入して,s,tを消去する。・・・・ 解答 Q(s,t), P(x, y) とする。 Qは円x2+y2=9 上の点であるから s2+t2=9....... ① Pは線分AQ を 2:1に内分する点であるから x= 1･1+2s 1+2s 2+1 3 S= 3y-2 2 y= 3x-1 よって 2 1 これを①に代入すると ゆえに よって (x-21/2)+(1-22-4. ( x − 3 ² ) ² + ( y − 3 ) ² = =4 したがって, 点Pは円 ② 上にある。 逆に, 円 ② 上の任意の点は,条件を満たす。 以上から 求める軌跡は 中心 (1/12/23) 半径2の円 t= " 1・2+2t 2+2t 2+1 3 (3x-1)+(38-2)=9 2(x-3)* + ²(x - 2)²-9 =9 = ****** ② (s,t), Q 1- y 10 01-7 275 基本 101 13. [2] 0 A (1,2) P(x,y) -3 つなぎの文字s, tを 去。 これによりPの 件 (x,yの方程式)が行 られる。