（1）の一番最初で微分する意味ってありますか？ あと、（2）の一行目でf(x)ではなく、f'(x)となっているのはなぜですか？ 回答お願いします。

162 (1) 等式f(t)dt=x-3x2+x+αを満たす関数f(x)と定 数αの値を求めよ。 (2) 関数f(x)=(t-t-2) dt の極値を求めよ。 解答 (1) 等式の両辺をxで微分すると f(x)=3x²-6x+1 また, 等式でx=α とおくと よって したがって a³-3a²+2a=0 a=0, 1, 2 (②2) f'(x)=x(12- =xS (12-1-2)dt=x-x−2=(x+1)(x-2) dx. f'(x)=0 とすると また f(x)= f(x) の増減表は右のようになる。 よって, f(x)は f(x)=1/10/12/1 - 2t 3 x=-1で極大値 x=2で極小値 10 x=-1,2 3' - 0=a³-3a²+a+a すなわち 7 6 をとる。 xC 3 22 X' X f'(x) 2x+ *** + α(a-1)(a-2)=0 オ 13 6 -1 0 極大 10 3 - オ 2 20 極小 7 6 + df²f1dt=f(x), -Sisindi=0

四角で囲んだ部分についてなのですが、その定義というのはどういう定義ですか？ その定義から開区間で扱うという所について詳しく教えて欲しいです

356 重要 例題 211 導関数から関数決定 (2) 微分可能な関数 f(x) が f'(x)=ex-1| を満たし, f(1) = e であるとき, f(x)を 基本 210 求めよ。 指針▷>条件f'(x)=e*-1|から, f(x) = flex-1dx とすることはできな い。 まず x>0のとき f'(x)=ex-1 x<0のとき f'(x)=-(ex-1)=-x+1 x>0のときは, A と条件f(1) =e から f(x) が決まる。 しかし、 x<0のときは,条件f(1) =e が利用できない。 そこで,関数f(x)はx=0で微分可能 lim f(x)=lim f(x)=f(0) を利用して, f(x) を求める。 X-40 解答 x>0のとき, ex-1> 0 であるから f'(x)=ex-1 よって f(1) = e であるから e=e-1+C ゆえに C=1 したがって f(x)=ex-x+1 x<0のとき, ex-1 <0であるから f'(x)=-ex+1 よって f(x)=f(-e*+1)dx x→+0 x-0 f(x)=f(ex-1)dx=ex-x+C (Cは積分定数) X1-0 -ex+x+D (D は積分定数) (2) f(x)はx=0で微分可能であるから, x=0 で連続である。 ゆえに limf(x) = lim f(x)=f(0) phix x→+0 x-0 ①から limf(x)=lim (ex-x+1)=2 ②から limf(x)=lim(-ex+x+D)=-1+D よって したがって このとき, lim- lim ん→+0 場合に分けるから 絶対値 2=-1+D=f(0) ex-1 x0 x lim h-0 x→+0 x-0 f(x)=-e*+x+3 =1から ƒ(h)—ƒ(0) h ƒ(h)—ƒ(0) h =lim ん→+0 A ゆえに =lim h-0 D=3 eh-h-1=( =0, h -e" +h+1 h =0 よって,f'(0) が存在し, f(x)はx=0で微分可能である。 e*-x+1 (x≥0) 以上から f(x)={ −e³+x+3 (x<0) y₁ (p.242 基本事項 ① ② ) に着目。 x=0で連続 10 (1)\= + y=ex-1 導関数f'(x) はその定義か ら, x を含む開区間で扱う。 したがって, x>0,x<0の 区間で場合分けして考える。 x f(x) は微分可能な関数。 6101 (lim (1-1) h 必要条件。 逆の確認。 p. 257 も参照。 ◄lim 1 { =(e^_-¹) + 1} -(eh-1) k-ol ors 練習 211-1<x<1とする。 f(x)=|tan-x-11, f(0)=0 であるとき, f(x)を求めよ。 1 [2] 3

四角で囲った部分なのですが、私はtについて微分だからxはそのままだと思っていたのですが、xも微分するんですか？

368 重要 例題221 無理関数の不定積分(2) x+√x2+1=tのおき換えを利用して,次の不定積分を求めよ。 (1) S (2) √√x²+1 dx 基本220 指針▷根号内が2次式の無理関数について,'-x"や、x+α" を含むものはそれぞれ x=asin0, x=atan0とおき換える方法があるが,後者の場合、計算が面倒になることか ある(次ページ参照)。そこで,x+ A(Aは定数) を含む積分には, 【CHART 解答 1 √x²+1 x+√x+4=t とおく(････････)と,比較的簡単に計算できることが多い。 (2)x+1=(x/√x+1として部分積分法で進め, (1) の結果を利用する。 √x²+Ã ħŽU¯_x+√√x²+A=t&< (1)x+√x2+1=tから (1+√²+1)dx=dt √√x² +1+x ゆえに CHART √²+1 よって ゆえに -dx よって dx=dt すなわち 1 √x²+1 1 2+1 316407==x√x²+1=√x²+1=1 dx +x=1 .JJE √1250 >=x√x²+1 =√(√x²+1=√x²+1 (1) の結果から したがって x}dt=log|t|+C =log(x+√√x²+1)+C (2) √√x²+1 dx = S(x) √x²+1 dx=x√x² +1 -√√√₂x²+1 dx 2 -dx= ・dt t (1) S √x²+1 • S√x ² + q ² dx 5572853PY 2√√x²+1 dx=x√x³+1+√√√²+1 dx √ √x ² + 1 dx = 1/² ( x √/ x ² + 1 + √ √/ x ² + 1 x S=1/12(x+ 1 dx x2+1 練習 ⑩221 ただし, (1), (2) では α=0 とする。 dx =x√³x²³ +1 -√√√x ² + 1dx + S₁ 15) (T -dx √x2+1 -dx=dt 00000 (2) √√√x² + a²³ dx ◄(√x²+1) = {(x²+1)²}, =(x²+1) • (x²+1) 2x 2√x2+1 = S√x+1dx=1/{xv/x+1+10g(x+√x+1)}+C 1+1+x) x+√x²+A=t(Aは定数)のおき換えを利用して,次の不定積分を求めよ。 x x2+1 |x+1>x=|x|から x+√x2+1>0 よって, 真数は正である。 < x2+1=(√x2+1)^ に着目 して,分子の次数を下げる。 同形出現。 →p.363 の解答でIを求 めるのと同様の考え方。 +/yo に (1) の結果を利用。 (3) S dx SA よって

四角で囲んだ部分についてなのですが、その定義というのはどういう定義ですか？ その定義から開区間で扱うという所について詳しく教えて欲しいです

356 00000 重要 例題 211 導関数から関数決定 (2) 微分可能な関数 f(x) が f'(x)=ex-1| を満たし, f(1) = e であるとき, f(x)を 基本210 求めよ｡ 指針▷>条件f'(x)=ex-1|から, f(x) = flex-1dx とすることはできな い。 まず、 絶対値 場合に分けるから x>0のとき f'(x)=ex-1 x<0のとき f'(x)=-(ex-1)=-e*+1 x>0のときは,A と条件f(1) = e から f(x) が決まる。 しかし, x<0のときは,条件f(1) =e が利用できない。 そこで,関数f(x) は x=0で微分可能 lim f(x) = limf(x)=f(0) を利用して, f(x) を求める。 x→+0 解答 x>0のとき, ex-1>0 であるから よって f (1) = e であるから e=e-1+C ゆえに C=1 x<0のとき, ex-1 <0であるから f'(x)=-ex+1 よって f(x)=f(-ex+1)dx ゆえに lim f(x) = lim f(x)=f(0) x→+0 x-0 ①から limf(x)=lim (ex-x+1)=2 ②から limf(x)=lim(-e*+x+D)=-1+D よって したがって x→+0 f'(x)=ex-1 f(x)=f(ex-1)dx=ex-x+C (C は積分定数) =-e*+x+D (Dは積分定数 (2) f(x)はx=0 で微分可能であるから, x=0で連続である。 _0-1x このとき, lim lim h→+0 x→0 x 練習 1 211 lim h--0 2=-1+D=f(0) ゆえに D=3 f(x)=-ex+x+3 -=1から ex-1 したがって f(x)=ex-x+1 ...... 1 x→+0 0-1x ƒ(h)—ƒ(0) A : lim ん→+0 ƒ(h)—ƒ(0) h eh-h-1 h =lim h-0 (p.242 基本事項 ① ② ) に着目。 x=0で連続 -=0, -e" +h+1 =0 h よって,f'(0) が存在し, f(x)はx=0で微分可能である。 [e*-x+1 (x≥0) 以上から f(x)={ −e³+x+3 (x<0) ....... x+x-xm-(2) y O y=ex-1 導関数 f'(x) はその定義か ら,x を含む開区間で扱う。 したがって, x>0,x<0の 区間で場合分けして考える。 x JOHAJ (x)=x (S) lim ん→-ol f(x) は微分可能な関数。 lim (e^-1-1) ++0 130 1 Ade 必要条件。 逆の確認。 p.257 も参照。 =(e^-1)+1} h ors π <x<1とする。 f'(x)=|tanx-1, f(0)=0 であるとき, f(x) を求めよ。 3 [2] 3 J Î

何故分子が2k−1になるのかよく分からないので教えてください。私の考え方では何故できないのでしょうか

2 光波 73 91.〈薄膜による光の干渉〉 図1に示すように,空気中で水平面上に置かれた屈折率 n の平坦なガラ ス板の上に,屈折率 n1 で一様な厚さdをもつ薄膜が広がっている。 波長 入 の単色光を薄膜表面に対して垂直に入射させ,薄膜の上面で反射する光線 ① 空気 と,薄膜とガラス板の間の平坦な境界面で反射する光線② の干渉を考える。 折率を1とし、 > n>1 の場合を考える。 屈折率 n1, n2 が光の波長によっ 光線 ① 光線 ② が干渉して生じた光のことを干渉光とよぶ。 いま, 空気の屈 て変わらないとして,次の問いに答えよ。 (1) 薄膜中の光の波長 入を, n, 入o を用いて表せ。 (2)薄膜の厚さを0から連続的に増していくと,光線①と光線②からなる干渉光は,強めあっ て明るくなったり,弱めあって暗くなったりした。 干渉光の明るさがん回目の極大となっ たときの薄膜の厚さ dk を, n1, 入o, k(k=1,2,3,…)を用いて表せ。 (3)薄膜の厚さ dk のときに,入射する単色光の波長を 入。 から短くしていくと,干渉光は一度 暗くなった後、再び明るくなり極大となった。 このときの入射光の波長 入z を,入o, k を用 いて表せ。 (4) (3)の観測において,入射光が入。=500nmで明るかった干渉光は、波長を短くしていくと 一度暗くなった後, 入2=433nm で再び明るくなった。 薄膜の屈折率を n = 2.0 として 薄膜の厚さ dk の値を求めよ。 次に,図2に示すように, 波長 入 の単色光を薄膜表面の法線に対 して入射角i (i <90°) で入射させた。このとき,薄膜の上面で反 射する光線 ① と, 薄膜の上面において屈折角で屈折して薄膜とガ ラス板の間の平坦な境界で反射し, 薄膜の上面に出てくる光線②と の干渉を考える。 これらの光線は図中の点 A1, A2 において同位相 であるとする。 図2 (5) 薄膜の屈折率 n, 入射角i,屈折角の間の関係式を示せ。 (6) 光線 ①と光線 ②の干渉光が強めあって明るくなる条件を,屈折角,屈折率 n, 厚さ d, 入射光の波長 入と整数m (m=0,1,2,3,… を用いて表せ。 (7) (6)の条件を,入射角i,屈折率 n1,厚さd,入射光の波長入と整数m(m=0,1,2,3, ・・・) を用いて表せ。 (8) 垂直入射(入射角 i=0°) で明るかった干渉光は,入射角iを大きくしていくと,一度暗 くなった後、再び明るくなり極大となった。このときの入射角を i=i としたとき,と 薄膜の屈折率 n, 整数mが満たす関係式を求めよ。 ① 薄膜 ガラス板 空気 薄膜 ガラス板 図 1 法線 法線 [17 大阪府大改〕 2I

物理の薄膜による干渉の問題です。 写真3枚目、(8)の「m＝0ではiを大きくしたときに次の極大点を取り得ない」というところの理由が分かりません。 m＝0のとき光路差はちょうど半波長になると思いますが、このとき入射光を大きくしても、干渉光が再び最大の明るさになることはないとい... 続きを読む

12光 991.〈薄膜による光の干渉〉 図1に示すように,空気中で水平面上に置かれた屈折率 n の平坦なガラ (1) ス板の上に,屈折率 n で一様な厚さdをもつ薄膜が広がっている。波長 の単色光を薄膜表面に対して垂直に入射させ,薄膜の上面で反射する光線 ① 空気 と。薄膜とガラス板の間の平坦な境界面で反射する光線②の干渉を考える。 光線①と光線②が干渉して生じた光のことを干渉光とよぶ。いま,空気の屈 折率を1とし,n>n>1 の場合を考える。 屈折率 n1, n2 が光の波長によっ て変わらないとして,次の問いに答えよ。 薄膜 (2) (1)薄膜中の光の波長 入 を, n1, 入。 を用いて表せ。 (2)薄膜の厚さを0から連続的に増していくと, 光線 ①と光線 ② からなる干渉光は,強めあっ て明るくなったり,弱めあって暗くなったりした。 干渉光の明るさがん回目の極大となっ たときの薄膜の厚さ dk を, n1, do, k (k=1,2,3, ･･･) を用いて表せ。 (3) 薄膜の厚さ dk のときに, 入射する単色光の波長を入から短くしていくと, 干渉光は一度 暗くなった後,再び明るくなり極大となった。 このときの入射光の波長入を 入o, kを用 いて表せ。 13 14 (4) (3)の観測において,入射光が入。=500nmで明るかった干渉光は、波長を短くしていくと, 一度暗くなった後, A2=433nm で再び明るくなった。 薄膜の屈折率を n = 2.0 として 波 73 の厚さdkの値を求めよ。 次に,図2に示すように, 波長入 の単色光を薄膜表面の法線に対 して入射角(i<90°)で入射させた。このとき,薄膜の上面で反 射する光線 ① と, 薄膜の上面において屈折角で屈折して薄膜とガ ラス板の間の平坦な境界で反射し、薄膜の上面に出てくる光線②と の干渉を考える。 これらの光線は図中の点 A1, A2 において同位相 であるとする。 図2 (5) 薄膜の屈折率 n, 入射角i, 屈折角の間の関係式を示せ。 (6) 光線①と光線②の干渉光が強めあって明るくなる条件を,屈折角 1,屈折率 n, 厚さd, 入射光の波長 入と整数m (m=0, 1 2 3 ) を用いて表せ。 (7) (6)の条件を,入射角i,屈折率n,厚さd,入射光の波長 入と整数m (m=0,1,2,3, ・・・) を用いて表せ。 (8) 垂直入射(入射角 i=0°) で明るかった干渉光は入射角を大きくしていくと,一度暗 くなった後、再び明るくなり極大となった。このときの入射角を i=i としたとき、ふと 薄膜の屈折率 n1, 整数mが満たす関係式を求めよ。 ①1 空気 薄膜 ガラス板 ガラス板 図 1 法線 法線 A [17 大阪府大改]

1/2∫[1/(1+t)+1/(1-t)]dtからなぜ下の行に -log(1-t)と出てくるのでしょうか？？

dx (4) S -=S dx = S COS X 2 COS X cos²x sinx=t とおくと したがって S= dx 1 x = = √₁_₁d²² ₁² = √ ( ₁ + ²)(² - 0) dt. dt =S COS X 2 1-t² t) cosxdx=dt = (1+7+1²7) ² 7²/1 1\/ dt 1-t COS X 1-sin²x 1+t = 1/10g|11| -log 1-t 2 (log 1 + log|1-) + C 10+ -log +C 1+ sin x 1-sin x dx +C

至急です。36番、どのように考えればいいか検討がつきません。 解説していただきたいです

36 解答 (1) 326 135 (5) log. (2) 2e e+1 16(5√5 - 1) 15 (6) 3√2 2 -2 (3) 2-√2 3 (4) log 3+2√2 3

(2)です。なぜ36m²-4＞0から9m²-1＞0にするのかわからないです。 4で割ったことはわかるのですが、なぜ4で割る必要があるのですか。

18 (1) 2次方程式x2+(a−3)x -α+6= 0 が実数解をもたないような,定数aの値 の範囲を求めよ。 xの2次方程式x2+8mx+7m²+1=0の実数解の個数を調べよ。

至急です。 丸をつけた箇所が分からなく、困っています。 解説してくれる方、お願いします。

数とする。 次の acosnxdx dxの最小値 =+1)dx (nl 1 ぃと 表せ。 √√x F(1)=2 情け無用の100問組手! 鬼の微積分演習 77 次の関数を微分せよ。 ただし, a,bは定数で, a>0, aキ1とする。 (1) y=e-sin 3x (2)) y ecos (4) y=log.a (⑤5) y=log.sinx (7) y=2x+1logx (9) y = {log(√x+1))2 ⑧8 次の関数をxで微分せよ。 (1) y = fusi (1) sin tdt 9 次の不定積分を求めよ。 (1) dx x(x²-1) (3) Sa dx (x-2Xx+2Xx-3) 10 次の不等式を証明せよ。 +5² dx ✓1-1/2 sin' x (2) (8) y=log (x+√√x²-a²) x-b (10) y=log. x2+6 (2) y=S" e'costdt (2) dx (4) √√x(x²+1) (3) y=2sinx (6) y=log{e*(1-x)} 3x+2 x(x + 1)² // -dx ³dx< 1/1/ g(sinx+cosx)dx< [11 △ABCにおいて, AB=2, AC=1,∠A=xとし, f(x)=BC とする。 次の問いに答え よ。 (1) f(x) をxの式として表せ。 (②2) △ABCの外接円の半径をRとするとき, f(x) を R で表せ。 (3) on f(x)の最大値を求めよ。 12 次の関数を微分せよ。 ただし, (1)~(4) では x>0 とする。 (1) y=xs ysinx (2) y=x** (3)y=xlog* (4) y=x² (5) y=(sin x) (0<x<*) (6) y = (logx)* (x>1) 情け無用の100問組手! 鬼の微積分演習 13 次の不定積分を求めよ。 x3 (1) √√√x ² + 1 dx x2+1 nは2以上の整数とする。 次の等式が成り立つことを証明せよ。 cos"xdx= =1/{sin xcos"-' x+(n-1)| cosm-2xdx} 16 次の定積分を求めよ｡ (1) Sx4dx 15 関数 y=ersin bx について,次の問いに答えよ。ただし, a,bは定数とする。 (1) y" を求めよ。 (②2) y” を, x を用いずにy を用いて表せ。 y” ·S= 17 不定積分 e 2x e +2 1 1– sin t f(x)+ (2) Solcos2dx 18 次の2つの等式を満たす関数f(x), g(x) を求めよ。 +So (f(t)-g(t)dt=1, g(x)+Sols( (3) -dx を求めよ。 |20 F(x)= log.x xlogx-1dx (3) Solsin (3) f(1),((1) の値に注意することにより, lim- (4) f(x) を求めよ。 0 |sinx+cosx|dx (f(t)+g'(t)dt=x2+x 119 f(x) は x>0 で定義された関数で, x=1で微分可能でf'(1)=2 かつ任意のx>0,y>0 に対して f(xy)=f(x)+f(y) を満たすものとする。 (1) f(1) の値を求めよ。また,これを利用して,(1) をf(x) で表せ。 (②2) (4) f(x)とf(y) で表せ。 2b P4-8V Į m f(x+h)-f(x) h をxで表せ。 =Stf(x-1)d tf(x-t)dt であるとき, F''(x)=f(x) となることを証明せよ。 S=