この問題の解説でrなどが分母になっている理由を教えていただけると助かります。 (青チャートI の命題と証明　Ex49です)

(3) √n+1-√n が有理数であると仮定する。 - 1 r √n=r (rは有理数) とおくと,r=0 であり 1 √n+1=√n = √n+1+√√n √n+1 = √n=r, √n+1+√√n = =² p²5 = √√n+1+√n (√n+1-√√n)(√n+1+√√n) √n = 1²/² ( ² −r), √n+1 = ²- - r ), √n+ 1 = ¹/2 (r + ² ) 2 r rは有理数であるから、√nn+1 はともに有理数である。 これは (2) の結果に矛盾する。 よって √n+1- nは無理数である。 (有理数) である。 ←√√n+1=r+ √n, √n=√n+1-r をそれ ぞれ2乗することで =(rの式), √n+1=(rの式) n を導いてもよい。 20 26=v (1

下線部の水色の項数はどこからわかりますか？

例題 B1.8 既約分数の和 pは素数,m,nは正の整数でm<nとするとの間にあって, p を分母とする既約分数の総和を求めよ。 (同志社大) 解答) STAND 考え方 具体的な数で考えてみる。たとえば2と4の間 (2以上4以下) にあって5を分母と する数は, 10 Focus 11 17 18 19 (-2). 15 12 13 14 15 (-3). 16. 5. 5. 5. 20 (4) 55555 5'5'5'5'5 m以上n以下でpを分母とする数は, mp (= m). p 1 等差数列と等比数列 つまり、2.2+1/32+1/3 ......, 2+- となり、初項2. 公差 1/3の等差数列になって 10 5 いる. 項数は分子に着目して 11 (=20-10+1) 個である. これらの和を求めて, そのうち既約分数にならないもの(整数) を引くとよい . S2=120 mp+1 mp+2 p Þ つまり、初項m 公差 等差数列となる。 Þ 項数np-mp+1, 末項nであるから, その和S, は, S=1/12 (np-mp+1)(m+n)……① 1/² (n=m+1) (m+n) ......2 ....... 注 素数を分母とする真分数の和は, 12. p p よって、求める和をSとすると, ①, ②より、合 S=1/12 (np-mp+1)(m+n)-1/21(n-m+1)(m+n) + np-1 np (= p p また,このうち, 既約分数でない数は整数であるから, m,m+1,m+2, ......,n-1, n つまり,初項m, 公差1の等差数列となる. [ 項数n-m+1, 末項nであるから、その和 S2 は, としてもよい。 =1/(m+n)(np-mp+1-n+m-1) =1/12 (m+n)(n-m)(b-1) MD_R... 具体的な数で調べて規則性をみつける P (29) (=n) 1+2+ ...... p **** LED まずはすべての分数の 和を求める . (p-1)p か B1-11 公差の等差数列 p 項数をkとすると, n=m+(k-1) -1 1/13より、 k=(n-mp+1 だから, S₁=((n-m)p+1} -1) X (m+n) 分母が素数であるから, 既約分数でないものは mからnまでの整数に なる. 項数n- (m-1) S から S2 を引けば, 既約分数の総和となる. S=S-S2 練習 mnは自然数でm<nとする.mとの間にあって5を分母とするすべての B1.8 有理数のうち、整数にならないものの総和を求めよ。 (富山大) *** 200 bw== B1 B2 C1 C2 13161 1) 190, 2. HMON

オリスタ2 偏角は1/ーiのままだと求められないので1/ーiを変形しないといけないと思うのですが、1/ーiをどのように変形したらいいのか分かりません。教えてください🙇‍♀️

3 複素数 Z1,Z2,Z3 について, z1+i2z2=(1+i) が成り立っている。 の絶対値と偏角を求めよ。 (1) 22-23 2123

これらの途中式を教えてほしいです

(1) (2) (1) 2 75-2 の整数部分をa､小数部分をbとするとき､ bx+y 2-6 4x イ (2) 2012/64+ となる。 =bを満たす有理数xyはx=カキ (1) aを定数とする。2次方程式 について、判別式Dは. ' + (a +1)x+α+a-1-0 ････ コサ ウ となり. (a+26) エオ｣となる。 ·<a<* x² ≤ 38 038 < x≤39 39 < x² ≤ 40 Ⓒ40 < x≤ 41 41 く 64x¹ D-- ア 9²- イ ウ となる。したがって, ① が異なる2つの実数解をもつの値の範囲は、 エオ カ M となる。 サ (2) 正の数xとその小数部分yに対して, x+y=40 ① が成り立つとする。 について次の⑥~④のうち、正しいものはク である。 したがって、xの整数部分がケ とわかる。 これと①より. クケとなる。 となる。 〔3〕 aを定数とする。放物線y=-xx+7 ① について次の0~④のうち,正しいものはア し、解答の順序は問わない。 をとり また、 ケコ 放物線①は上に凸である。 ①①は下に凸である。 -1 Sasにおける放物線① の頂点のy座標は、m カキ ーをとる。 ク オ このとき最大値・ (4) 放物線①は軸と共有点をもたない。 放物線①は軸と共有点を1つだけもつ。 ④ 放物線①は軸と共有点を2つもつ。 COA= に (1) AB-7.BC=5,CA=4√2 の△ABCについて 41 さらに, sin B siny sing である。 さらに、 オ のとき、 放物線 ① は、放物線y=-xxのグラフをx軸方向に サ だけ平行移動したものとなる。 軸方向に sin sina である。 7 1 について考える。 と ク ケ である。 また、 外接円の半径は カ キ コサ である。 シス ウ のとき最小エ 17 (2) AB4BC=7. CA5の△ABCの辺BC上にBD=3となる点Dをとる。 ∠BAD=∠CAD=8. <ADBァとする。このとき。 である。ただ ウ オ エ である。

(1) 何故このような操作をするんですか？ 逆関数だからy＝x^1/3になるので普通に微分すればいいんじゃないんですか？

250 00000 (1) y=xの逆関数の導関数を求めよ。 (2) y=x+3x の逆関数をg(x) とするとき,微分係数 g'(0) を求めよ。 (3) 次の関数を微分せよ。 (ア) y=2x3 8/10 基本例題 147 逆関数の微分法,x(pは有理数) の導関数 指針 (1),(2) 逆関数の微分法の公式 ゆえに dy 1 dx dx 解答 (1) y=xの逆関数は,x=y を満たす。 dx よって -=3y² dy T (1) y=x3 の逆関数は x=y3 (すなわち y=x1) xをyの関数とみてyで微分し,最後にyをxの関数で表す。 (2) y=g(x) として, (1) と同様に g'(x) を計算すると, g(x) はy で表される。 →x=0のときのyの値[=g(0)] を求め, それを利用して g'(0) を求める。 (3) 有理数のとき (x)'=pxcb-1 を利用。 (3) (7) y'=(x²)' = (イ) y=√x2+3 3 dy dx dx dy dy (2) y=g(x) とすると、条件からx=y+3y される。 ①から 4 g'(x)= dy dx 1 2 3y² 3(y³)³ 3x³ x = 1 1 302+33 3 4√√x (1) y'= {(x²+3) ³y = 1/(x²+3)¯ • (x²+3)= = ..... dx3y2+3 dy x=0のとき y³+3y=0 £h5 y(y²+3)=0 (S y2+3>0であるから y=0 したがって g'(0)== を利用して計算する。 2000 XC ①が満た p.246 基本事項 √x²+3 (1- Ant 別解 (1) y=x3 の逆関数は y=x1で dy =(x) = x dx <関数f(x) とその逆関数 f''(x) について y=f(x) ⇔ x=f-l(y) の関係があること(p.165 基本事項 ②0) に注意。 ■合成関数の微分。

【至急】帝京大学2021年数学の過去問です。 解説お願いしたいです🙇 どなたかお願いします🙏

〔1〕次の にあてはまる数を求め, 解答のみを解答欄に記入しなさい｡ 解答が有 理数となる場合には, 整数または既約分数の形で答えること。 (1) a+b+c= 2, a²+b²+c² = 6, ab+bc+ca= ア となる。 (2) a = as+ 2 4-√ 12 は . 1 1 1 +. a b C 1 1 1 + + a h² 1 オ である。 エ のとき、a2+1/2 ウ 〔2〕を4≦a≦4を満たす定数とする。 放物線y=x2+7x-a²+6a+17 ....... ①につ 4 いて,次の にあてはまる数を求め, 解答のみを解答欄に記入しなさい。 解答 が有理数となる場合には, 整数または既約分数の形で答えること。 11/12のとき、 イ (3) 放物線 ① の頂点のx座標は ア であり, 放物線 ① の頂点のy座標の最小値 イ である。 また, 放物線①をx軸方向に-1, y 軸方向に2だけ平行移動した放物線を②とす であり, 放物線② の頂点のy座標の最大値 る。 放物線 ② の頂点のx座標は である放物線②をCとすると, C上 個ある。 オ ウ である。 y座標の最大値が の点(x,y) で,xが整数かつy<0となるものは は I エ 〔3〕 次の にあてはまる数を求め, 解答のみを解答欄に記入しなさい。 解答が有 理数となる場合には, 整数または既約分数の形で答えること。 (1) kを定数とする。 xの2次方程式x^ー (k +10)x+(10k+1)=0が重解をもつんの値 イ である。 ただし, 1 とする。 は. ア ア (2) xの2次方程式x2-5x+2=0の2つの解をα, β とする。 また,xの2次方程式 x2+px+q=0(p,qは定数)の2つの解はα+2,β+2 である。 このとき, p+q= ウ である。 (3) 2次不等式x²8x330の解と, 不等式6< |x-al(a,bは定数)の解が一致 するとき, a= エ b= オ である。 〔4〕 △ABCにおいて, ∠BAC=2∠ACBである。 ∠BACの2等分線とBCとの交点を D とするとき, BD = 2, CD =3である。 次の にあてはまる数を求め, 解 答のみを解答欄に記入しなさい。 解答が有理数となる場合には, 整数または既約分数の 形で答えること。 (1) cos ∠ACD = ア ×ACである。 (2) AB= イ (3) ABCの面積は, 数, である。 ウ は最小の正の整数とする。 (4) △ABD の外接円の半径は, 2√ < I オ 3 である。 ただし、 となる。 ウ は有理

【至急】帝京大学2023年数学の過去問です。 解説お願いしたいです🙇 どなたかお願いします🙏

|-53- 〔1〕 数学(総合) 〔2〕 (1) 752-2の整数部分をa､小数部分をbとするとき. b= ア さらに, (2) 4x+ 1 4x = 経済・法・文・外国語・教育・医療技術・福岡医療技術学部 bx+y 2-b となる。 (1) aを定数とする。 xの2次方程式 y= イ ウ となり (a+26)²= =bを満たす有理数x, y は, x = カキ =√5のとき、64x+6 x 2 + (a + 1)x + α² + α-1=0 ...... ① <a< について, 判別式Dは. D=- ア a². a+ ウ となる。 したがって, ① が異なる2つの実数解をもつαの値の範囲は, エオ カ ⑩x238 ① 38 < x 39 239 < x² ≤ 40 コサ ③ 40 <x≦41 ④ 41 < x² キ したがって, xの整数部分が コ (2) 正の数xとその小数部分yに対して, x2+y2 = 40 ① が成り立つとする。 xについて次の⑩~④のうち,正しいものは ク である。 エオとなる。 サ となる。 y=クケとなる。 となる。 ケ とわかる。 これと①より. 〔3〕 αを定数とする。 放物線y=-x-ax +7････ ① について考える。 放物線 ① について次の⑩~④のうち,正しいものはア とイ である。 ただ し、解答の順序は問わない。 〔4〕 ⑩ 放物線①は上に凸である。 ① 放物線①は下に凸である。 ② 放物線①はx軸と共有点をもたない。 3 放物線①はx軸と共有点を1つだけもつ。 ④ 放物線 ① は x軸と共有点を2つもつ。 -1≦a≦3における放物線① の頂点のy座標は,a= ウ のとき最小値 I カキ ク a= オ のとき, 放物線①は, 放物線y=-x²+xのグラフをx軸方向に ケコ y軸方向に サ だけ平行移動したものとなる。 をとり, a= COSA= (1) AB = 7,BC=5,CA=4√2 の△ABCについて さらに, sin B = siny_ sin a オ である。 さらに, sin B sina ア イ である。 のとき最大値- コサ シス である。 また, 外接円の半径は カ をとる。 キ である。 (2) AB = 4,BC=7. CA = 5の△ABCの辺BC上にBD =3となる点Dをとる。 ∠BAD = α, ∠CAD = β, ∠ADB=y とする。このとき ク ウ オ I である。

この証明は間違っていますか？ 問題と解答も載せています。

(2) 24を有理数だとして、その有理数を レと表す。 = 2+√√√3 = 2-√√3. E √3= 2-r Vは無理数、2-2は有理数であるため この式は矛盾している。よっては 無理数である。

(2) A∧B=Aの図が、BがAを囲う形になるのはなぜですか？AがBを囲うのならわかるのですが…

AB=A 夏休みの課題(数学Ⅰ) 【3】 次の ②必要十分条件である (3/kyは実数で.y0 とする。(x,yはともに有理数」は有理数」であるための また、「x<-1」 は x<0 かつ [x-11>2」であるための ÷こしなので、今は有理数えはともに有理数は (2) 集合 A、Bについて, A∩B=Aは AUB = B であるための (3) x,yを実数とする。 x+y2=0はx+y=0 であるための [x²³+ y² = 0 => [x+22=0; ²)(x=-1₁0-1) 「x+y=0」⇒「0」反例(11) 36 (4)nは自然数であるとする。 n²を7で割ると余りが1であることは,nを7で割ると 余りが1であるための④①=6 n=7kt1 n²=(7k+1)² 7 AnB AUB-B 152=225÷7=32-1 ス 2 =7(7k+2k)+1 7k2kは整数は7で割ると余りが1 を7で割ると余りが1→をクを割ると余り X<-1 X<0 +17 X-172 -X+1>2 or 2-172 1/60

√1 √15 －2.57 5分の17 √0.64 5個の中でどれが有理数ですか？