nを整数とするとき, n+6n°+5nは6の倍数であることを示せ。
与式を積の形(因数分解)に変形してもn(n+1)(n+5)となり,
87 倍数の証明
与式を積の形(因数分解)に変形してもn(n+1)(n+5) となり、
精講
「6×整数」の形になりません。
このようなとき,解決の手段として,次の2つが存在します。
0「連続するm個の整数の積は m!の倍数」という性質を利用する。.
2 整数nで表された整式 f(n) がかの倍数であることを示すとき,
nをかでわった余りで分類して考える.(→88)
この考え方はいつでも使えますが, かが大きくなると答案が長くなるので,
工夫が必要になります。
ここでは解答でのを,(別解)で①と②を使った解答を紹介します。
解答
n°+6n°+5n=n(n+1)(n+5)
=n(n+1){(n+2) +3}
=n(n+1)(n+2)+3n(n+1)
ここで, n(n+1)(n+2) は連続3整数の積だから
1連続3整数の積の形
がほしいので,強引
にn+2 をつくる
6の倍数で,
n(n+1)は連続2整数の積だから2の倍数、
すなわち, 3n(n+1) は6の倍数.
よって, n(n+1)(n+2)+3n(n+1),
すなわち, n°+6n°+5n は6の倍数,
(連続2整数の積は
2!=2 の倍数
注
強引にn+?をn
