（1,3,5),(1,5,3),(3,1,5)でできる三角形の形は同じなのに、区別しなければいけない理由が分かりません。 また、問題文からそれを見極める方法があれば教えてください。

例題 189 思考プロセス 右の図のように, 1辺の長さが2の正三角形の頂点と各 辺の中点に1から6の番号をつける。 3個のさいころを 同時に投げて、出た目の番号の点を互いに結んで図形を つくるとき,次の確率を求めよ。 正三角形ができる確率 三角形ができる確率 AL (1) 3個のさいころを区別して考えるから, << Action 確率の計算では,同じ硬貨・さいころ・球でも区別して考えよ (2) 三角形ができる。 3つの目 (1,3,5), (1,5,3),(3, 1,5), ・・・を区別しなければならない。 段階に分ける ① まず、3つの目の組を考える。 3つの目が異なり, 3点が一直線上にない。 AL 3個のさいころを区別して考えると,目の出方は 6°= 216 (通り)あり,これらは同様に確からしい。 (1)(ア) 1辺の長さが2の正三角形となるときしか 3点 (1,3,5) であり,そのさいころの目の出方は 3!=6 (通り) 3! 通りあるから (イ) 1辺の長さが1の正三角形となるとき 3点 (1,2,6),(2,3,4),(4,5,6),(2,46の 4通りあり,それぞれのさいころの目の出方は3通り あるから 4×3! = 24 (通り) (ア), (イ) より 求める確率は 5 36 3 2. 3つの目の出る順序を考える。 6+24 216 (②2) 3点がすべて異なる場合の数は P3=120 (通り) そのうち, 3点が一直線上に並ぶのは, 3点が (1,2,3), (3,4,5),(5,6, 1) の3通りあり, それぞれのさいこ 3×3!= 18 (通り) ろの目の出方は3通りあるから したがって 求める確率は 120-18 17 216 1 036 4 3 例題20 全事象はさいころを区別 して考えているから,こ こでも区別して、目の出 方を考える。 1 4 Y 6 (3) 5 6章 15 確率の基本性質 三角形ができるのは,3 点がすべて異なり、かつ 一直線上に並ばない場合 である。 ReAction 例題 189 「点を結んでできる多角 形は,点が一直線上に並 ぶ場合に注意せよ」

☆の部分の式の意味を教えてください。

思考プロセス 例題161 デー 右の図は40人の生徒に行った数学と英語の テストの得点の散布図である。 このとき, 数 学, 英語の得点の平均値はそれぞれ 52.0点, 65.5 点, 分散はそれぞれ 256.0, 289.0 であっ たが,その後散布図における2点 (85,37) (4395 の数値に誤りがあり、正しくはそれ ③3 (43, 59 であることがわかった。 ぞれ (85, 0 (1) 訂正後の英語の得点の平均値と分散を求めよ。 (2) 訂正前の数学と英語の得点の相関係数r と, 訂正後の相関係数を 比較したとき,正しいものをすべて選べ。 r<r' ② r =r' ③r>r' ④ r'はrに比べて1に近い ⑤ r' はに比べて0に近い r'はrに比べて1に近い 「図で考える { (ア) 右上がりの直線に近づく。 正の相関関係が強くなる。 解 (1) 訂正後の英語の得点の平均値は (6) (点) 100 90 80 70 60 40 0 よって, 訂正後の英語の得点の分散は 40 [289.0×40-{(37-65.5)+(95-65.5)2} 英語 50 数値を訂正すると,散布図上の点はどのように動くか考える。 (ア) 34 40 30 +{(73-65.5)+(59-65.5)²}] = 249.4 (2) 散布図上の点の分布は, 訂正後の方が訂正前に 比べて右上がりの直線に近づく。 よって, ry' であり, rはrに比べて1に近い。 ゆえに、正しいものは①と 20 > 相関係数が増加する。 (イ) 右上がりの直線から離れる。 一 正の相関関係が弱くなる。 相関係数が減少する。 Action》 相関の強弱は, 散布図の点の分布から読み取れ 10 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 数学 1 -{65.5 × 40 - (37+95)+ (73+59)} = 65.5(点) 40 平均値が変化しないから, 数値に誤りがなかった38人 の英語の得点の偏差の2乗は変化しない。 x (点) 100 90 80 70 60 英 50 40 HTT 30 20 10 (イ)ツ 誤りがあった2人の訂正 前の英語の得点の和 (37+95=132) と 訂正 後の得点の和 3/22 (73+59132) が等しい から平均値は変化しない。 a 例

解答お願いします。 (１)の問題で、答えが±√6の他に、±√2iは不適切ですか？ わかる方教えてください。

思考のプロセス 次の方程式を解け。と (1) x14x2-12=0 (2) 3(x-2)^-2(x-2)-8=0 (S) いずれも4次方程式であり、このままでは難しい。 ≪ Re Action 式に共通な部分があれば,1つのものとみて考えよ 例題 5 既知の問題に帰着 xの4次方程式 x はすべての実数 ■ = X と 置き換える X2-4X-12=0 (X-6)(X+2)=0 解 (1) x2 = X とおくと, x2 ≧0より 与えられた方程式は TOR ≪ReAction 文字を置き換えたときは,その文字のとり得る値の範囲を考えよ 例題 76 Xの2次方程式 Xの範囲 * 因 X≧0より X = 6はュー2F よって, x2 = 6 より x=±√6 X 20 Z noit (8) x≧0 が常に成り立つか 035 X 20 火識が KANTH (X-6)(X+2)=0 の解のうち, X≧0 を満 たすものを求める。

青線のところが何故こうなるのかわからないです汗教えてください🙏

例題 240 定積分で表された関数 次の等式を満たす関数 f(x) と定数aの値を求めよ。 (1) f(t)dt=3x+x-2 思考プロセス 見方を変える をxで微分すると 例題 239 との違い… 等式に定積分を含むのは同じであるが,積分区間に変数xを含む。 = - f* f (1)dt = [F (1)]** =F(x)-F(a) ← → *f(t)dt は、xの関数である。 xの関数 a de f* f(t) dt dx 2 (3a-2)(a+1)=0 より a = 3' (2) にx=a を代入すると = 0 f(t)dt Action》 "f(t)dt を含む等式は,xで微分せよ (②) 与式はf(t)dt=-3x²+ax-1 ① の両辺をxで微分すると, ・x amas f(t)dt = f(x) より f(x) = -6x+a ・② (1) 与式の両辺をxで微分すると, d Rakendus car *f(t)dt = f(x) より f(x) = 6.x +1 与式にx=0を代入すると, f(t)dt = 0 より 0=3a²+a-2 よって ②に代入する [ f(t)dt = 3x² - f(x) = -6x+4 d{F(x)-F(a)}=f(x) dx ① に x=1 を代入すると, f(t)dt=0 より 0= -3+α-1 a=4 ax+1 練習 240 次の等式を満たす関数 f(x) と定数の [頻出] ★★ ! aff(t)dt = 0 を用い るために,積分区間の下 端のαをxに代入する。 + f(t)dt = f* f(t)dt 積分区間の上端と下端が 一致するようなxの値を 代入する。 ORE WAC WORS F F(x)= X よって、 は右のよ ここで F(-1 F(2) したが一

(2)の数列｛An+1＋An｝はーのところで、An+1＋Anという数列はどこから来たのですか?An-1＋An-2はどこへ行ったのですか?

[例題] 316 場合の数と漸化式 2辺の長さが1と2の長方形と1辺の長さが2の正方形の2種類のタイル がある。 nを自然数とし, 縦2, 横nの長方形の部屋をこれらのタイルで 過不足なく敷き詰めるときの並べ方の総数を Am で表す。 (1) n ≧3のとき, An を An-1, An-2 を用いて表せ。 (2) Ann を用いて表せ。 思考プロセス 具体的に考える 例題 307 Am を敷き詰める 最初にをおくと 最初に 最初に をおくと2 をおくと An+An-1=2 (An-1+An-2) --2- -2-- An-2A-1=-(An-1-2An-2) 3 ②より, 数列{An+1 + An} は初項 A2 + A1 = 4, 公比2の等比数列であるから n Action» n を含んだ場合の数は,最初の試行で場合に分けよ 解 (1) 左端に長辺を縦にした長方形を並べるとき 残り縦2, 横 (n-1)の部分の並べ方は A-1 通り (イ) 左端に長辺を横にした長方形を並べるとき 残り縦2, 横 (n-2)の部分の並べ方は A-2 通り (ウ) 左端に正方形を並べるとき 残り縦2, 横 (n-2)の部分の並べ方は A-2 通り (ア)~ (ウ)より An=An-1+2An-2 ① (2) ① を変形すると A-1 An+1+An=4.2-1 = 2+1 ③より, 数列{An+1-2Am} は初項 A2-2A1 = 1, 公比1の等比数列であるから An+1-2An=1,(-1)"^'=(−1)"-' ④ ⑤ より 3An=2+1-(-1)^-' よって An = 1/1/12 (2711-(-1)^-1) n-2 An-2 n-2 An-2 (東京大) ← 斜線部分 も 特性方程式 x2-x-2=0 より x=-1,2 より A = 1 ①日 より Ag = 3 [練習 316 先頭車両から順に1からnまでの番号の付いた両編成の列車がある。 ただ し≧2 とする。 各車両を赤色, 青色, 黄色のいずれか1色で塗るとき, 隣 り合った車両の少なくとも一方が赤色となるような色の塗り方は何通りか。 (京都大) p.570 問題316 6 章 18 化式と数学的帰納法 547

（5）で、ACAを塊として考えて解くのはなぜダメなのか教えてください！！

BOA (ACA) Q00000 LIX2, Hx2, M.R 71 2121 200 ×72 420 SEKA (260 ACA→○×3とすると、 9x3, M₁ Tx2, Hx2₁ R = 1741=~ を1列に並べ 1 3100 12 24 (A.C. Action まいから、求める並べ方は 1470 15/120 7.615.4.3.2.1 2.2 X7 (2560 95 312121 9-817-6-5141312 3.2.2.2 =15120通り H

この黒い線の引いてあるところがなぜその値を入れていいのかがわかりません

例題 134 例題 194 最大・最小と極限 思考プロセス 関数f(x)= (2)(1) の結果を利用して, (ア) lim (ア) 不等式 logx √x (2) 《Action 直接求めにくい極限値は、はさみうちの原理の利用を考えよ logx □をつくりたい ↑ 極限値が一致する 2 式 S 19 (1) f'(x)= (イ) 前問の結果の利用 のxにおける最大値と最小値を求めよ。 log(logx) √x 2-logx 2x√x よって, 0≦ x X→∞ 考えにくい よりx≧1 のとき logx 2 x log (logx) √x lim X8 練習 194 (1) 関数 f(x) logx (イ) lim X→∞ f'(x)=0 とおくとx=e2 f(x) の増減表は右のように なる｡ また,x>1 のとき f(x)>0 であるから e√√ x -5 noits/0) Action》 f(x) の最大値 M, 最小値m は,不等式 m≦f(x) ≧M とせよ x² log (logx) logx (ア) の利用 |f'(x) f(x) 0 x 1 log(log.x) log.x よって, はさみうちの原理より るから, はさみうちの原理より lim x=eのとき最大値 2.2 x=1のとき 最小値0 9 であり, lim X→∞ logx √√x Elim 0≤ ALL- x →∞0 XC logt t-00 t POLLATUM logx √x (1) の利用 見方を変える K log.x lim X48 2 e √ x + 0 2 e 20 (最小値m) ≦ (イ) x≧e のとき logx≧1 であるから, ① より 0≤ log(logx) √x x t = logx とおくと,x →∞ のとき→∞であるから ② より e² 2 e log(logx) logx log(logx) 2 log.x logx e I 7 =0 であ = F0 ･･･ ② log(log.x) √√x の値を求めよ。 = 0 (1) より log.x ≦ (最大値M) ■商の微分法 例題13 (²) = 0 x>1 のとき √x> 1, logx > 0 より f(x) > 0 v'u-vu 各辺に1/14 (①) ける｡ x→∞を考えるので、 よって ( > 0)を掛 x≧e としてよい。 030 x≧e より logx≧1 log(log.x) 20 log(log.x) 20 log.x 例題 思考プロセス a 数

確率の問題です。(3)の最後になんで1でいいのか教えてください🙇‍♀️

10 =11 例題212 反復試行の確率 [2] ･･･先に勝 A,Bの2人がくり返し試合をして,先に4勝した方を優勝者とする。 各試合において,引き分けはなく、AがBに勝つ確率は 1/3である。この が出ると良 とき次の確率を求めよ。 ** O 思考プロセス (1) 4試合目でAが優勝する確率 (2) 5試合目でAが優勝する確率 (3) 7試合目で優勝者が決まる確率 条件の言い換え (1) 4試合目でAが優勝 Aが4連勝 (2) 5試合目でAが優勝 1試合目2試合目3試合目4試合目 5試合目 Aが勝つ 3勝1敗 (3) 7試合目で優勝が決まる 1試合目 6試合目 7試合目 あるから、求める確率は(1/3)= 81 3勝3敗 どちらが勝っても優勝が決まる Action》 優勝するためには, ｢勝ち」で終わることに注意せよ 3 1 C. (+/-) * ( ²3 ) ² + + + + = 5試合目でAが優勝する場合 1試合 2試合3試合 4試合5試合 X O 〇〇 OX O 8 3 243 Toollo (2) 5試合目でAが優勝するのは,最初の4試合でAが 3勝1敗となり, 5試合目でAが勝つ場合であるから、 M 求める確率は よって、求める確率は のは、 3 3 6 C 3 ( 1 ) * ( 1²/3 C3 x1= Klololo 160 729 OO XO OX O 一 (3) 7試合目で優勝者が決まるのは,最初の6試合で3勝3 敗となる場合である。 T 1\²_IL このとき、7試合目はどちらが勝っても優勝者が決まる。 A 818 lolololx 解 (1) 4試合目でAが優勝するのは, Aが4連勝する場合で各試合の結果は,独立で あると考える。 O (2) O O × [頻出] C3通り ｢この場合 はない 「最初の4試合でAが3勝 1敗となる確率は,反復 試行の確率で求められる。 Aが優勝しても, Bが 優勝してもよいことに注 意する。 6章 16 いろいろな試行と確率

下から二段目→下から一段目の式変形が何をやっているのかわかりません。また−1)}となってるところがありますが、ここの中括弧はどこからどこを閉じてるんでしょうか

- lll 088 898 EAN DEMOTORS 329 一般頃が分 n=k+1 のとき, ①, ② より {ƒk+1(x)}² — (x² − 1){gr+1(x)}²___ = {xfx(x) + (x²-1) g(x)}² — (x² − 1){ƒk (x) +xgx (x)}² = x² {f(x)}²+2x(x²-1) f(x) gr (x)+(x²-1)² {gn (x)}² AL-(x²-1)[{f(x)}² + 2xfx(x) gr (x) + x² {gn (x)}²] = {x² - (x²-1)}{fx (x)}² Action O2 = = {ƒk (x)}² − (x² −— 1)}{gk(x)}² = 1 よって, ③ は n = k+1 のときにも成り立つ。 FIRS + {(x² − 1)² − x²(x² − 1)}{gk (x)}² n=kのとき成り立つと 仮定した式と同じである

この問題なんですけどどうしてx+3≧0とかx+3<0を一緒に考えなくても解けるのか教えて頂きたいです🙇‍♀️

例題 36 次の方程式, 不等式を解け。 (1) |x-3| =5 (3) |x+3|≦ 4 思考プロセス 絶対値記号を含む方程式・不等式 [1] Action》 絶対値を含む方程式・不等式は,まず絶対値記号をはずせ 定義に戻る |x| 数直線上で原点Oから任意の点までの距離 とみることができる。 aを正の定数とするとき (ア) |x|=αの解はx=±α (イ) |x|<a の解は -a<x<a (ウ) |x| >αの解は 解 (1) |x-3| = 5 より x-3=5のとき x-3 = -5 のとき よって (2) |2x+3| = 1 より 2x+3=1のとき 2x+3= -1 のとき よって x = -2,8 x<-a, a <x よって (4) 5x-4| 3 より 5x<1, 7<5x よって x=-2, -1 (3) | x +3|≦4 より -4 ≦ x +3 ≦ 4 x < -4-3≦x≦ 4-3 -7≤ x ≤ 1 5 9 x-3 = ±5 x = 8 x=-2 2x+3 = ±1 x=-1 x=-2 7 5 (2)|2x+3| = 1 (4) |5x−4|>3 52-4<-3, 3<5x-4 <x (ア) (イ) (ウ) いか -a a = a a> 0 のとき | x | ≤ a a a a>0 のとき |x|=a x = ±a |x-3| のように場合分けして考 えてもよい。 la > 0 のとき |x|> a x x |x-3 (x ≥ 3) -x+3 (x<3) HIIN m x ⇔-a≦x≦a ⇔ x <-a, a <x 1