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an+2-aan+1=B(an+1-αan), an+2-Ban+1=«(an+1-Ba,).
指針> まず,an+2 をx, an+1 を x, an を1とおいたxの2次方程式(特性方程式)を熱く、
上め ニx+6を解くと、
572
an+2-an+1=ー5(an+1-Qn) と変形され, 階差数列 を利用することで解決。
(1) 特性方程式の解は x=-2, 3→解に1を含まない から, ② を用いて りに
基本 例題123 隣接3項間の漸化式(
次の条件によって定められる数列 {an} の一般項を求めよ
OO00
基本
次の寺
(1) a=0, az=1, an+2=an+1+6an
(2) a=1, az=2, an+2+4an+1-5an=0
p.571 基本事項
2解を、Bとすると, αキBのとき
針>
が成り立つ。この変形を利用して解決する。
し,等比数列{an+1+2a»}, {an+1-3an} を考える。
(2) 特性方程式の解は x=1, -5→解に1を含む から, 漸化式は
解答
(1) 漸化式を変形すると
につ
an+2+2an+1=3(an+1+2an)
an+2-3an+1=-2(an+1-3an)
Oより,数列{an++ 2am} は初項a2+2a,3D1,公比3の等比
の,
ゆ
(x+2)(x-3)=0から
の
x=-2, 3
α=-2, B=3として掛
のAを利用。
数列であるから
an+1+2an=37-1
2より,数列 {an+1-3an} は初項 a2-3a:=1, 公比 -2 の等
3
比数列であるから an+1-3an=(-2)"!
の
がS
3-4から
5a,=3"-1-(-2)"-1
1
an=
5
|an+1 を消去。
る
したがって
ute TSanti= antレ-San
an+2-an+1=-5(an+1-an)
ゆえに, 数列{an+1-an} は初項 a2-a:=2-1=1, 公比 -5
(2) 漸化式を変形すると
x+4x-5=0を解くと、
(x-1)(x+5)=0から
の等比数列であるから
よって, n22のとき
an+1-Qn=(-5)”-1
x=1, -5
n-1
an=Qi+2(-5)*-!=1+
k=1
別解 漸化式を変形して
an+2+5an+1=Qn+ +50«
よって an+i+5am
三
n=1を代入すると, (7-(-5)°}=1であるから, 上の式
=an+5an-1
=……=a+5a=l
はn=1のときも成り立つ。
an+1+5an=7を変形し、
したがって
a,=17-(-5)"-"}
an+1-
から a
