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ある変域で2次不等式が常に成り立つ条件
OO000
基礎例題 96
0Sx52 の範囲において, 常に x*-2ax+3a>0 が成り立つように、定
aの値の範囲を定めよ。
発展例題 103
CHART
Q GUIDE)
ある変域において
関数f(x)の
最小値が正
y=f(x) のグラフ
f(x)>0
今
がx軸より上側
が成り立つ
|1 f(x)=Dx°-2ax+3a とし, 平方完成する。
12 y=f(x) のグラフを考えて, 軸の位置で場合分けをする。
3 2の各場合について, f(x) の 0Sx<2 における最小値を求める。
4(最小値)>0 の不等式を解き,最後に不等式の解をまとめる。
田 解答田
p.142 発展例題 82参照
定義域 0Sx2 は固
ソ=f(x)のグラフは、
数aの値によって移動
から,軸の位置で場合
f(x)=x°-2ax+3a とするとf(x)=(x-a)°-α+3a
0SxS2 の範囲で, 常に f(x)>0 が成り立つための条件は,こ
の範囲における f(x) の最小値が正であることである。
[1] a<0 のとき
f(x)は x=0 で最小となる。
f(0)=3a であるから
これは, a<0 を満たさない。
[2] 0Sa%2 のとき
f(x)は x=a で最小となる。
f(a)=-a°+3a であるから -α'+3a>0
軸
ける。
[1] 軸が定義域の左
[2] 軸が定義域の内
[3] 軸が定義域の右
3a>0
0
2 x
最大·最小
頂点と定義域の端
に注目
すなわち
a(a-3)<0
ー不等号の向きが変
よって
0<a<3
0
2
x
a
これと 0SaS2 の共通範囲は
0<a<2
の
[3] 2<a のとき
f(x)は x=2 で最小となる。
f(2)=2?-2a·2+3a=4-a であるから
のよう
注意
分けの条件を落
a
02
4-a>0
よって
a<4
x
ようにする。
これと 2<a の共通範囲は
2<a<4
2
求めるaの値の範囲は, ① と② を合わせて
0<a<4
