数三微分増減です 2枚目に波下線を引きましたが、sinでかつマイナスなのでマイナスsinのグラフをかいて微分の増減を見るのか、二次関数でマイナスがついているので上に凸の二次関数を書いて増減を調べるのかなと思ったりしたのですが、実際どのようにして増減を調べているのですか？

(3) (4) y=(1+sinx)cosx (0<x<2) y

問題を解いてもこの答えに辿り着きません…。解説をお願いしたいです。

次の無限等比級数が収束するような実数xの範囲を求めよ。 また、そのときの和を求めよ。 x+ x(1-x)+x(1-x)2 + ......

数三の問題です。 教えてください

(1) x を微分せよ。 (2) sinax を微分せよ。 (3) (4) (5) sinxを微分せよ。 cosaxを微分せよ。 COS" x を微分せよ。 (6) eaxを微分せよ。 (7) 10g|axを微分せよ。 (8) x を積分せよ。 (9) sinaxを積分せよ。 (10) cosaxを積分せよ。 (11) exを積分せよ。 (12) 10gxを積分せよ。

数学2の次数三次方程式です。 詳しく教えていただきたいです。

24 a,b は実数とする。 3次方程式x^3+ax + b = 0 が 1 +2i を解にもつとき 定数 α, b の値を求めよ。 また、他の解を求めよ。

数三の定積分の問題です。 (１)ではπ／2－tでsinとcosが入れ替わることは分かるのですがm.nがまで一緒に入れ替わってしまう理由がわからないです...

- Ed 重要 例題 nを0以上の整数として, Im,n=So sin" xcos" xdxとする。 m, 次の等式を証明せよ。 ただし, sin x=cosx=1である。 ① Im.n=In.m n-1 m+n 解答 x= (1) x= 指針 (1) sin(x)=cos.x, cos(x) = sinx [sin と cos が入れ替わる] に注目し、 ▷ π x=tとおくと dx=(-1)・dt 2 xとtの対応は右のようになる。 よって tとおき換えて計算し、後で変数t をxに直す。 (2) sin" x cos"x=(sin" xcosx) cos” x として部分積分法を用いる。 更に, sinm+2 xcos"-2 x = sin" xcos”-2x-sin" x COS" x から 同形出現。 H Im.n Aft ・h-2より、 TL -S² sin" x cos" x dx p.339 事項 0②. Im.n= -Im.n-2 (n ≥2) = [ 216,220 00000 置き替えは まず始めに これを疑う、 8 t 0 π 2 π 2 0 ① -S"sin" ( z—t)cos" (z −t)-(-Dar-f cos" (ハート)(-1)dt=So sin"xcos"xdx=In.m 2 2 H

数三の微分の問題です。解説の下にある注意の説明が分かりません。詳しく説明してくださると助かります🙏

d² f(x)が2回微分可能な関数のとき、 dx (tanx) をf' (tanx), f" (tanx) を用いて表せ。 [富山大〕 tanx=u とおく よって 1 cos²x f(tanx)=f(u)(u) dx x=u とおくと dx d² dx². =f" (u) du 1 cos³x du dx d 1 f(tanx) = {f(u). dx you cos²x 園 と f'(tanx) = d dx 1 =f"(tanx) cos²x 1 dx cos²x AED): xD (R-8)=-2 cos x(-sin.x) + f'(u). f"(tanx) + 1 cos²x cos¹ x 0="xD(n 高と + f'(tanx). HINT cos²x cos J+1(x) Vertane) HENON (5 から f'(tax)=tanx ところが, f(u)=u²のとき よって -f(tanx)=2tanx(tanx)= du dx 2 tan x cos²x cos²x ←合成関数の微分。 = 2sinx = cos³x) J f'(tanx)=(x)=(0)1.4303 ←合成関数の微分と積の 微分。 2sinx cos³x xndx Fxd£+³xbE=(x) > COS23 d dxf (tanx) は異なる。例えば, f(u) =ω^ とすると,f'(u)=2u x+xd 5d xD) 8+(2+xdS+xpE)(x-1)+(35+xnd) x $700 8²³²²0=d+De f(tanx)=tan²x

この問題で増減表を書く時に、αとβの値が分からないので数値を代入してf'(x)が－か+かどうか調べることができないのですがこの増減表の符号はどうやって決めているのでしょうか？ (出典:青チャート 数三 P308)

308 基本例題 182 最大値・最小値から関数の係数決定 (2) x-b x² +a a,bは定数で, a>0とする。 関数f(x)= であるとき, a, bの値を求めよ。 [弘前大〕 ●基本180,181 指針 増減表を作って, 最大値と最小値を求めたいところであるが,f'(x)=0 となるxの値が複 雑なため、 極値の計算が大変。 そこで、 ****** 複雑な計算はなるべく後で に従って,f'(x)=0 の解をα,Bとし 2次方程式の解と係数の関係を利用して, α+β, αB の形で極値を計算する。 また, 関数 f(x) の定義域は実数全体であるから、増減表から最大値・最小値を求めるとき は、p.306 の例題 180 同様,端の値として x±∞のときの極限を調べ,極値と比較。 解答 a>0 であるから,定義域は実数全体。 X-C2+1)x+αB=0 f'(x)=x2+a-(x-b)・2x (x²+a)² f'(x)=0 とすると x2-2bx-a=0 この判別式をDとすると 練習 x²-2bx-a a-b a² + a 関数f(x)= / (x²+a)² ① 4 ゆえに,f(x)はx=αで最小値f(α) x=βで最大値f(B) 1 2' x+a 条件から f(a)= したがって 2α-26=-o'-a, ② により, a b を消去すると 2a-(a+B)=-a²+aß, 整理すると 2+(1-β)α-β=0, よって (a-B)(a+1)=0, αキβであるから α=-1, β=3 ゆえに、②から 2=26, -3=-a すなわち a=3、b=1 の最大値が 13. L D=(−b)²-1• (-a)=b²+a + a>0であるから 62+α>0 ゆえに D>0 よって, 方程式 ① は異なる2つの実数解 α, β (a <β) をもち, 解と係数の関係(*) から α+β=26, aß=-a 970よりBOXくわから50 増減表は右のようになり lim f(x)=0, lim f(x)=0 00 X→∞ Ext f(B)= 0-00に ないないので をとる。 Max Min B²+a 6β-66=β2+α x 00000 最小値が ◄ ( ² ) = ² B-61があることが 6 わかる 6B-3(a+B)=B²-aß B'-(3+α)β+3a = 0 (B-a)(B-3)=0 f(0) = -a (9>0) Fy f(0) 50 B f'(x) 0 + 0 f(x) 極小 極大 > u'v-uv 02 0)について次のものを求めよ。 a ... (*) 解と係数の関係 2次方程式 ax²+bx+c=0の2つの 解を α, β とすると b a+B=-₁ aß= a a 基本 αを正 AB= ABC 指針> 解 IZAI 0<E 26 a C

数三。区分求積法です。 青の矢印通りになるのがよく分かりません。 1/nでくくると‪√ は外れるんですか？

3²² (2) log √√n + k − log n k=1 n nlog n 1 n Σ - log(n + k) — ¹ log n n k=1 n k=1 n Σ log(n+k). n k=1 - = 120g (1+4) - log n k=1 n - (log(n+k) - log n} n k=1 II col 3

2枚目の丸書いたところの式変形が何してるかわかりません。どなたか教えてください

10 第1章 極限 連続関数 V3 > 1 = a より が成り立つと仮定すると、 を数学的帰納法により示そう.n=1のときはα2 = (**) が成り立つ。 (**) でn=kとした ak+1 > ak Qx+2 = Vak+1 + 2 > Vax + 2 =0k+1 であるから, (**) はn=k+1におい ても成り立つ。ゆえに, 数学的帰納法により (**) が示され, {an}は単調増加 数列である. 道) (有界性) [偽解] と {an}の単調性より, すべてのnに対してan <2が 成り立つことが予想される. それを数学的帰納法で証明しよう.n=1のとき には明らかに正しい。am-1 <2と仮定すると, an <v2+2=2であるから すべてのnに対して <2が成り立つことが示された. 以上により, (*) で与えられた数列が収束することがわかったから,あとは, [偽解] をそのまま繰り返せばよい. 別解 ([偽解] によってか,または別のなんらかの方法によって,極限値は 2であるとの目星がついているものとする. しかしそのことには楽屋裏に隠し て) 極限値が2であることを証明する (と, 天下り的に始める). |an-2|= |van-1 +2-2|= | (an−1+2)-221 Van-1+2+2 2 ≤ ≤ (2) 10 n-1 Jan-1-2 2 次の定理は重要である. 定理 1.1.5. 数列 |an-2-2|… は,n→∞のとき収束する. 証明 定理 1.1.4 を使う. n-1 であり, n→∞ のとき 注 (1/2)" 0 は,ここでは直感的に明らかとして使ったが,証明は,問 1.1.1 (p.13) としておく. an = (1+1) ≤ (1) * →0であるから, an 2である. n |a1-2| ■ (1.1.5) i) (単調性)二項定理13 により an = (1 + ²)" =1+-+ n 1 - 1 + ² + (₂¹ (²+...+(-)-(-) 2 n(n-1)/1 = n 2! n! n 1nn-1 2! n 1nn-1n-2 n 3!n n n 1 =1 + ¹ + 1 (¹ - ¹) + ¹ (¹ - - ) (¹ - 3) +--- 1- 2! (1 1- 3! + -/+ (¹ - ) --- (¹ - ¹ = ¹). (1) (1-^-¹). n! an+1 = 1+1+ 13 + ii) (有界性) 上の an の計算式の4~5行目より 1 an < 1+1+ 1 2! +...+ 1 1.1 +･･・ + = 1+ 数列の極限 n! 1 2n-1 同様に + ¹ + 2/1 (¹ - - ² + 1) + + - - 1 (¹ -²-₁)---(1----1) 1- 2! 1- n+ n! <1+ 1 n+ 1nn-1 n! n n 1 + (n + 1)! (1 - ~ + ₁) --- (1 - ~ ²+1). n+1 an と an+1 の違いは分母がnからn+1に変わっていることと、 最後の項が追 加されていることである.ゆえに, an < an+1 であり, {an}は単調増加数列 である. 11 <1+1+ +... + 2 1-(1/2)" 1-1/2 ゆえに, {an}は上に有界である.なお, 2番目の不等式ではn! = 1.2.3.....n> 1･2･2････2 ((n-1) 個の2) を使った. 定義 1.1.3 (eの定義) (1.1.5) で与えられた数列の極限をeと書く. 1 n 1 1-1/2 = 3. n+1 付録 A.2 参照. 14 この有界性の証明からもわかるように, 数列{an}が上に有界である。 すなわち M となる M が存在することを示すには, ぎりぎり小さな M をもってくる必要はない。

数三 どなたか分かるとこだけでいいのでお願いします🙇‍♀️

1 以下の設問に答えよ。 an-1 (1) 数列{an}が漸化式αn=1- を満たすとき、 極限値 lim an を求めよ. 次の関数の導関数を求めよ (a,bを定数とする) . 2 m (2) (5) 関数 (3) e² - e- e²+e-² (1+2) の2次導関数を求めよ. (4) log(√x-a+√√√x-b) 2 関数y=f(x)=x^logx (x>0) について次の問いに答えよ. (1) f'(x) f'(x) を求めよ. (2) 増減表を書いて関数の増減と極値,最大・最小値について調べよ。 (3) 凹凸表を書き、 関数の凹凸と変曲点を調べよ. (4) 極限公式 lim 40を用いて極限値 lim f(x) を求めよ. y++∞ el I→+0 (5) 関数のグラフの概略を図示せよ。